Soluzioni
  • Parlare di numero fratto zero ha senso solo nell'ambito dell'Algebra di infiniti e infinitesimi e, come vedremo tra poco, non è corretto dire che un numero fratto zero dà infinito.

    Innanzitutto dovrebbe essere chiaro che non ha senso calcolare un numero diviso zero ma al più ci si potrebbe chiedere quanto vale

    \lim_{x\to 0} \frac{a}{x}

    dove a è un qualsiasi numero reale.

    In realtà nella scrittura precedente si dovrebbe specificare se x tende a zero da destra o a zero da sinistra e quindi calcolare

    \\ \lim_{x\to 0^+} \frac{a}{x}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^-}\frac{a}{x}

    Ancora, il risultato di questi due limiti dipende dal numeratore che potrebbe essere un numero positivo, negativo o nullo. In definitiva, il valore di un numero fratto zero varia a seconda del caso che ci si presenta dinanzi.

    1) Numero positivo fratto zero

    Se a è un numero maggiore di zero (a>0) allora

    \\ \lim_{x\to 0^+} \frac{a}{x}=+\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^-}\frac{a}{x}=-\infty

    Per capire da scaturiscono questi risultati è sufficiente osservare il grafico della funzione y=1/x. Infatti, per le regole sul calcolo dei limiti:

    \\ \lim_{x\to 0^+} \frac{a}{x}=a \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}=+\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to 0^-}\frac{a}{x}= a \cdot \lim_{x\ to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty

    2) Numero negativo fratto zero

    Se a è un numero minore di zero (a<0) avremo che

    \\ \lim_{x\to 0^+} \frac{a}{x}=-\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^-}\frac{a}{x}=+\infty

    I risultati dei due limiti precedenti si ricavano immediatamente osservando il grafico della funzione y=-1/x, infatti essendo a<0 avremo che

    \\ \lim_{x\to 0^+} \frac{a}{x}=|a| \cdot \lim_{x\to 0^+} \frac{-1}{x}=-\infty \\ \\ \\ \lim_{x\to 0^-}\frac{a}{x}= |a| \cdot \lim_{x\ to 0^-} \frac{-1}{x}=+\infty

    La funzione y=-1/x è l'opposta della funzione y=1/x, quindi il grafico di y=-1/x è il simmetrico rispetto all'asse delle ascisse del grafico della funzione y=1/x.

    3) Zero fratto zero

    Se a=0

    \\ \lim_{x\to 0^+} \frac{0}{x}=0\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to 0^-}\frac{0}{x}=0

    Attenzione a non confondere i due limiti precedenti con la forma indeterminata 0 diviso 0. Il numeratore infatti è proprio zero, mentre il denominatore è una quantità che tende a zero ma che non è esattamente zero. Poiché 0 diviso un numero diverso da zero dà 0, il risultato dei due limiti è proprio zero e non una forma indeterminata.

    Troverai queste regole e molte altre riassunte nella nostra lezione su infiniti e infinitesimi - click!

    Risposta di Galois
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