Numero diviso zero come divisione e con i limiti

Perché non si può dividere un numero per zero

Capire il motivo per cui la divisione per zero è un'operazione priva di significato è semplicissimo: la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.

Ad esempio 8:4=2, perché 2 è quel numero che moltiplicato per 4 dà come risultato 8.

Se cerchiamo di calcolare un numero diviso zero, ad esempio 8:0, dovremmo ottenere come risultato un numero che, moltiplicato per 0, restituisca 8.

Sappiamo però che qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0, quindi è impossibile ottenere 8 come risultato della moltiplicazione.

Ecco così spiegato perché non ha senso calcolare un numero diviso zero.

Numero diviso zero coi limiti

L'idea per cui un numero diviso zero dà infinito è dovuta a un'errata interpretazione della teoria dei limiti dell'Analisi Matematica.

Servendoci della calcolatrice possiamo osservare che, dividendo un numero positivo per un numero positivo sempre più piccolo, si ottiene un numero sempre più grande. Reiterando questo procedimento si dice che, man mano che il divisore tende a zero da destra, il risultato tende a più infinito.

Ad esempio:

Al contrario, se si divide un numero positivo per un numero negativo sempre più vicino a zero, ossia con un divisore che tende a zero da sinistra, allora si ottiene un numero negativo sempre più grande e quindi che tende a meno infinito.

Nel contesto dell'Algebra di infiniti e infinitesimi, se , possiamo affermare che:

Allo stesso modo, per :

In sintesi affermare che un numero diviso zero dà infinito è un abuso di linguaggio che si riferisce al calcolo dei limiti: si fa riferimento ai limiti che abbiamo appena scritto, e non a un'effettiva divisione per zero.

Per approfondire quest'ultima parte puoi leggere l'approfondimento: numero fratto zero.