Soluzioni
  • Parlare di numero elevato a infinito ha senso solo nel contesto dell'Algebra di infiniti e infinitesimi, inoltre il numero da elevare a infinito deve essere positivo e bisogna specificare se il numero è elevato a più infinito o a meno infinito.

    In buona sostanza, se a è un numero maggiore di zero, chiedersi quanto fa un numero elevato infinito equivale a conoscere il valore dei due limiti seguenti:

    \\ \lim_{x\to +\infty} a^x\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -\infty} a^x

    e quindi a conoscere l'andamento dell'esponenziale a infinito; dovremo quindi distinguere i seguenti tre casi.

    1) Se il numero da elevare ad infinito è maggiore di 1 (a>1) allora

    \\ \lim_{x\to +\infty} a^x = +\infty\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -\infty} a^x = 0^{+}

    Per capire da dove scaturiscono questi risultati è sufficiente osservare il grafico della funzione esponenziale con base maggiore di 1.

    2) Se il numero elevato a infinito è compreso tra 0 ed 1 (0<a<1), in accordo col grafico della funzione esponenziale con base compresa tra 0 ed 1, avremo

    \\ \lim_{x\to +\infty} a^x = 0^{+}\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -\infty} a^x = +\infty

    3) Se il numero elevato ad infinito è 1 (a=1)

    \\ \lim_{x\to +\infty} 1^x = 1\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -\infty} 1^x = 1

    Attenzione a non confondere i due limiti precedenti con la forma indeterminata 1^{\infty}. In questo caso, infatti, la base non tende ad 1 ma è esattamente 1, quindi i due limiti non generano una forma indeterminata.

    Queste regole e molte altre sono riassunte nel nostro articolo sull'Algebra di infiniti e infinitesimi.

    Risposta di Galois
 
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