y=1/x: grafico e proprietà come iperbole e come funzione
Cosa rappresenta l'equazione y=1/x? Si tratta dell'equazione di un'iperbole? In caso affermativo di che tipo di iperbole si tratta e come si disegna nel piano cartesiano?
y=1/x si può anche considerare una funzione? Se così fosse potreste dirmi quali sono le sue principali caratteristiche (dominio, immagine, monotonia, iniettività, ...)?
y=1/x è l'equazione di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti. In particolare y=1/x è un'iperbole avente il centro coincidente con l'origine degli assi e gli asintoti coincidenti con i due assi cartesiani.
Iperbole y=1/x nel piano cartesiano.
Come disegnare l'iperbole y=1/x
Per disegnare agevolmente l'iperbole y=1/x supponiamo che x sia diverso da zero
Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per x, così da ricondurci all'equazione canonica di un'iperbole equilatera
ossia a un'equazione della forma
Nel nostro caso è 
, dunque sappiamo che l'iperbole interseca la bisettrice del primo e del terzo quadrante. Inoltre, trattandosi di un'iperbole riferita ai propri asintoti, gli asintoti dell'iperbole sono gli assi cartesiani.
Infine, le coordinate dei vertici dell'iperbole equilatera sono
Servendoci di queste informazioni possiamo disegnare la curva di equazione y=1/x nel piano cartesiano.
Come disegnare l'iperbole y=1/x.
Funzione y=1/x
Possiamo pensare a y=1/x come a una funzione reale di variabile reale
il cui grafico coincide con la rappresentazione dell'iperbole y=1/x.
Le principali caratteristiche della funzione y=1/x sono le seguenti:
- ha come dominio 
;
- la sua immagine è data dall'unione dei seguenti intervalli ;
- è una funzione non monotona sul proprio dominio, ma è monotona decrescente strettamente sui singoli intervalli che costituiscono il dominio;
- è una funzione iniettiva, ed è suriettiva a patto di restringere il codominio alla sua immagine;
- l'asse delle ascisse è un suo asintoto orizzontale mentre l'asse delle ordinate è un suo asintoto verticale.
- è una funzione dispari, ossia simmetrica rispetto all'origine;
- è continua e derivabile nel suo dominio.
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Concludiamo con un'osservazione di carattere generale: conoscere il grafico della funzione y=1/x è utile per ricordare senza difficoltà alcune regole dell'Algebra di infiniti e infinitesimi, infatti osservando il grafico della funzione y=1/x si può ricavare il valore di un numero fratto zero e di un numero fratto infinito.