Soluzioni
  • e^x=1 è un'equazione esponenziale che ammette un'unica soluzione: x=0. Per risolvere l'equazione e^x=1 si può procedere in almeno tre modi diversi, che ci accingiamo a vedere nel dettaglio.

     

    Risolvere e^x=1 come equazione esponenziale elementare

    e^x=1 è un'equazione esponenziale elementare, ossia un'equazione della forma

    a^{f(x)}=b

    con b che può essere scritto sotto forma di potenza con base a.

    Infatti, nel caso dell'equazione e^x=1:

    a=e è il numero di Nepero

    f(x)=x

    b=1 può essere scritto come e^0, infatti qualsiasi potenza alla zero con base non nulla dà 1.

    Alla luce di tali considerazioni, i passi per risolvere l'equazione e^x=1 sono i seguenti:

    e^x=1 \iff e^x=e^0 \iff x=0

    Nell'ultimo passaggio è sufficiente uguagliare gli esponenti poiché ci troviamo di fronte ad un'uguaglianza tra due potenze con la stessa base.

    Possiamo così concludere che e^x=1 ha come soluzione x=0.

     

    Risolvere e^x=1 col passaggio al logaritmo

    Se per un motivo qualsiasi non dovessimo renderci conto che e^x=1 è un'equazione esponenziale elementare, possiamo risolverla passando al logaritmo.

    Per definizione di logaritmo, supponendo che a e b siano due quantità positive con a\neq 1, risulta:

    a^{f(x)}=b \iff f(x)=\log_a(b)

    Pertanto sostituendo a con e, f(x) con x e b con 1, avremo

    e^x=1 \iff x=\log_e(1) \iff x=\ln(1) \iff x=0

    dove nell'ultimo passaggio abbiamo semplicemente tenuto conto del fatto che il logaritmo naturale di 1 vale zero.

     

    Risolvere e^x=1 col metodo grafico

    Se si conosce il grafico della funzione esponenziale con base maggiore di 1 si sa che la funzione esponenziale passa per il punto (0,1). Ciò vuol dire che l'immagine del punto 0 tramite la funzione f(x)=e^x è uguale ad 1, ossia

    f(0)=e^0=1

    Possiamo così concludere che x=0 è soluzione per l'equazione e^x=1.

     

    Tra i tre metodi visti quello più veloce per risolvere l'equazione e^x=1 è il primo: trattare e^x=1 come un'equazione esponenziale elementare. Nessuno ci vieta comunque di usare uno degli altri due metodi.

    È tutto! Per vedere come si risolve la relativa disequazione esponenziale - click.

    Risposta di Galois
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