Soluzioni
  • (x+2)^3 e (x-2)^3 rappresentano il cubo di due binomi, infatti (x+2)^3 è il cubo del binomio (x+2), mentre (x-2)^3 è il cubo del binomio (x-2). Lo sviluppo di tali cubi è il seguente

    \\ (x+2)^3 \ = \ x^3+6x^2+12x+8 \\ \\ (x-2)^3 \ = \ x^3-6x^2+12x-8

    ed entrambi si ottengono utilizzando la regola per lo sviluppo di un cubo di binomio.

    Come possiamo osservare:

    - i termini degli sviluppi sono uguali e differiscono solo per il segno di alcuni termini;

    - entrambi i polinomi dello sviluppo di (x+2)^3 e di (x-2)^3 sono polinomi completi, ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile x.

     

    Sviluppo del cubo di binomio (x+2)^3

    La formula generale che permette di sviluppare un cubo di binomio della forma (a+b)^3 è la seguente

    (a+b)^3 \ = \ a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

    Sostituendo a con x e b con 2 possiamo scrivere lo sviluppo di (x+2)^3.

    \begin{align*}(x+2)^3 \ & = \ x^3+ 3 \cdot (x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot (2)^2 + 2^3 = \\ \\ & = \ x^2+6x^2+12x+8\end{align*}

    Se si vuole verificare la correttezza dello sviluppo appena scritto è sufficiente ricordare che, per definizione di potenza, elevare una quantità al cubo vuol dire moltiplicarla tre volte per se stessa.

    (x+2)^3 \ = \ (x+2)(x+2)(x+2)

    Calcolando il precedente prodotto tra polinomi si ottiene proprio il polinomio dello sviluppo di (x+2)^3 appena scritto:

    \begin{align*}(x+2)(x+2)(x+2) \ & = \ (x+2)(x^2+2x+2x+4) \\ \\ & = \ (x+2)(x^2+4x+4) = \\ \\ & = \ x^3+4x^2+4x+2x^2+8x+8 = \\ \\ & = \ x^3+6x^2+12x+8\end{align*}

     

    Sviluppo del cubo di binomio (x-2)^3

    (x-2)^3 si presenta come un cubo di binomio con segno meno, ossia della forma

    (a-b)^3 \ \mbox{ con } \ a=x \mbox{ e } b=2

    La formula generale che permette di scriverne lo sviluppo è

    (a-b)^3 \ = \ a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

    Pertanto, per sviluppare (x-2)^3 sostituiamo a con x e b con 2.

    \begin{align*}(x-2)^3 \ & = \ x^3- 3 \cdot (x)^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot (2)^2 - 2^3 = \\ \\ & = \ x^2-6x^2+12x-8\end{align*}

    Anche in questo caso, per verificare la correttezza dello sviluppo dobbiamo moltiplicare il binomio (x-2) per se stesso per tre volte.

    \begin{align*}(x-2)(x-2)(x-2) \ & = \ (x-2)(x^2-2x-2x+4) \\ \\ & = \ (x-2)(x^2-4x+4) = \\ \\ & = \ x^3-4x^2+4x-2x^2+8x-8 = \\ \\ & = \ x^3-6x^2+12x-8\end{align*}

     

    Abbiamo finito! Per un ripasso sui prodotti notevoli puoi consultare la lezione del link. ;)

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Domande della categoria Superiori-Algebra