Soluzioni
  • (x+2)^3 e (x-2)^3 sono due cubi di binomio: (x+2)^3 è il cubo del binomio (x+2) e si sviluppa come (x+2)3=x3+6x2+12x+8; (x-2)^3 è il cubo del binomio (x-2) e si sviluppa come (x-2)3=x3-6x2+12x-8.

    (x+2)^3 = x^3+6x^2+12x+8 ; (x-2)^3 = x^3-6x^2+12x-8

    Per calcolare gli sviluppi di (x+2)^3 e di (x-2)^3 si usa la regola per lo sviluppo del cubo di binomio, secondo cui il cubo di (A+B) è uguale al cubo del primo monomio, più il triplo prodotto tra il quadrato del primo monomio e il secondo monomio, più il triplo prodotto tra il primo monomio e il quadrato del secondo monomio, più il cubo del secondo monomio.

    In sintesi, vale la formula:

    (A+B)^3 = A^3+3A^2B+3AB^2+B^3

    Questa è l'unica formula da ricordare. Per non commettere errori basta considerare i monomi che compongono il binomio con i segni da cui sono preceduti, e quindi calcolare:

    • il cubo del primo monomio;

    • il triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo monomio;

    • il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo monomio;

    • il cubo del secondo monomio.

    La loro somma è lo sviluppo del cubo di binomio considerato.

    Usiamo questo metodo per calcolare lo sviluppo di (x+2)^3 e lo sviluppo di (x-2)^3.

    Sviluppo del cubo di binomio (x+2)^3

    Partiamo dai monomi +x e +2.

    - Il cubo del primo monomio è x^3

    (+x)^3 = x^3

    - Il triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo è 6x^2

    3·(+x)^2·(+2) = 3·x^2·2 = 6x^2

    - Il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo è 12x

    3·(+x)·(+2)^2 = 3·x·4 = 12x

    - Il cubo del secondo monomio è 8

    (+2)^3 = 8

    La loro somma è lo sviluppo di (x+2)^3:

    (x+2)^3 = x^3+6x^2+12x+8

    Sviluppo del cubo di binomio (x-2)^3

    In questo caso consideriamo i monomi +x e -2.

    - Il cubo del primo monomio è x^3

    (+x)^3 = x^3

    - Il triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo è -6x^2

    3·(+x)^2·(-2) = 3·x^2·(-2) = -6x^2

    - Il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo è 12x

    3·(+x)·(-2)^2 = 3·x·4 = 12x

    - Il cubo del secondo monomio è -8

    (-2)^3 = -8

    La loro somma è lo sviluppo di (x-2)^3

    (x-2)^3 = x^3+(-6x^2)+12x+(-8) =

    e, in accordo con la regola dei segni:

    = x^3-6x^2+12x-8

    In sintesi:

    (x-2)^2 = x^3-6x^2+12x-8

    ***

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    Risposta di Galois
 
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