Soluzioni
  • x^2=3 è un'equazione di secondo grado che ha due soluzioni reali e distinte: x=√3 e x=-√3. Per trovare le soluzioni di x^2=3 possiamo procedere in tre modi distinti ciascuno dei quali, ovviamente, porta sempre alle stesse soluzioni.

    Risolvere x^2=3 col metodo del discriminante

    Dopo aver portato il termine noto a primo membro

    x^2-3=0

    ricadiamo in un'equazione della forma

    ax^2+bx+c=0

    ossia in un'equazione di secondo grado avente come coefficienti

    a=1, \ b=0, \ c=-3

    È quindi immediato trovare il discriminante ad essa associato

    \Delta \ = \ b^2-4ac \ = \ 0^2-4 \codt (1) \cdot (-3) \ = \ 0+12 \ = \ 12

    Essendo il delta un numero positivo ne deduciamo che l'equazione x^2=3 ammette due soluzioni reali e distinte, che troveremo applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

    x_{1,2} \ = \ \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \ = \ \frac{0 \pm \sqrt{12}}{2\cdot 1} \ = \ \pm \frac{\sqrt{12}}{2} = \ \pm \frac{2\sqrt{3}}{2} \ = \ \pm \sqrt{3}

    Nella formula precedente al posto della radice di 12 abbiamo sostituito 2\sqrt{3}, per poter poi semplificare il 2 presente a numeratore col 2 a denominatore.

    Possiamo così concludere che le soluzioni di x^2=3 sono

    x_1=-\sqrt{3} \ \mbox{ e } \ x_2=-\sqrt{3}

    Risoluzione di x^2=3 come equazione pura

    Un'equazione pura è un'equazione di secondo grado della forma

    ax^2+c=0

    la quale, se a e c sono due numeri discordi ammette come soluzioni

    x_1=-\sqrt{\frac{-c}{a}} \ \mbox{ e } \ x_2=\sqrt{\frac{-c}{a}}

    Nel caso dell'equazione x^2=3, dopo aver portato il 3 a primo membro

    x^2-3=0

    possiamo osservare che siamo effettivamente di fronte ad un'equazione pura, con a=1 e c=-3 che sono numeri discordi.

    Pertanto x^2=3 avrà come soluzioni

    \\ x_1 \ = \ -\sqrt{\frac{-c}{a}} \ = \ -\sqrt{\frac{-(-3)}{1}} \ = \ -\sqrt{3} \\ \\ \\ x_2 \ = \ \sqrt{\frac{-c}{a}} \ = \ \sqrt{\frac{-(-3)}{1}} \ = \ \sqrt{3}

    Risoluzione di x^2=3 mediante scomposizione

    Ancora una volta, dopo aver portato il termine noto a primo membro

    x^2-3=0

    possiamo pensare al polinomio

    x^2-3

    come ad una differenza di quadrati. Infatti, sebbene 3 non sia un quadrato perfetto lo possiamo pensare come il quadrato della radice di 3:

    3=\left(\sqrt{3}\right)^2

    e quindi scomporre il polinomio x^2-3 nel prodotto tra la somma e la differenza delle basi

    x^2-3=(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})

    Pertanto

    x^2-3=0 \iff (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0

    Applichiamo ora la legge di annullamento del prodotto, la quale afferma che un prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei due fattori è uguale a zero. Quindi

    x^2-3=0 \iff (x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=0 \iff \left\{ \begin{matrix}x+\sqrt{3}=0 \ \to \ x=-\sqrt{3} \\ \\ \mbox{oppure} \\ \\ x+\sqrt{3}=0 \ \to \ x=-\sqrt{3} \end{matrix}

    Abbiamo nuovamente ottenuto le stesse soluzioni a testimonianza del fatto che la scelta del metodo da preferire per risolvere x^2=3 è del tutto libera. ;)

    Quasi inutile dire che per procedere col metodo della scomposizione occorre riconoscere e ricordare i prodotti notevoli. ;)

     

    Per vedere come si risolve la relativa disequazione rimandiamo alla nostra lezione sulle disequazioni di secondo grado - click!

    Risposta di Galois
 
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