Soluzioni
  • Sen(2x) indica il seno di 2x, la cui formula prende il nome di formula di duplicazione del seno ed afferma che sen(2x) è uguale a 2 volte il prodotto tra il seno ed il coseno di x, ossia

    \sin(2x) \ = \ 2\sin(x)\cos(x)

    Dimostrazione della formula del sen(2x)

    Dal momento che

    2x \ = \ x+x

    per dimostrare la formula del sen(2x) è sufficiente applicare la formula di addizione del seno

    \sin(\alpha+\beta) \ = \ \sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)

    dove sia \alpha che \beta andranno sostituite con x.

    Pertanto

    \sin(2x) \ = \ \sin(x+x)=\sin(x)\cos(x)+\cos(x)\sin(x) \ = \ 2\sin(x)\cos(x)

    Infatti, in virtù della proprietà commutativa del prodotto

    \cos(x)\sin(x)=\sin(x)\cos(x)

    e quindi possiamo procedere alla somma delle due quantità.

    Esempio di applicazione del sen(2x)

    Ricordando la formula appena vista, la quale permette di esprimere sen(2x) attraverso seno e coseno di x, è possibile ricavare il seno di alcuni angoli partendo dai valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    Ad esempio, poiché

    120^{\circ} \ = \ 2 \cdot 60^{\circ}

    possiamo ricavare il valore del seno di 120 gradi utilizzando la formula del sen(2x) nella quale è sufficiente sostituire x con 60°.

    \sin(120^{\circ}) \ = \ \sin(2 \cdot 60^{\circ}) \ = \ 2\sin(60^{\circ})\cos(60^{\circ})

    Ora, ricordando i valori del seno di 60 e del coseno di 60

    \\ \sin(60^{\circ}) \ = \ \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ \cos(60^{\circ}) \ = \ \frac{1}{2}

    abbiamo che

    \sin(120^{\circ}) \ = \ 2\sin(60^{\circ})\cos(60^{\circ}) \ = \ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} \ = \ \frac{\sqrt{3}}{2}

    Per fare un ripasso di tutte le formule goniometriche - click!

    Risposta di Galois
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