Soluzioni
  • Il seno di 75 gradi lo si può calcolare tramite la formula di addizione del seno o attraverso le formule per gli archi associati e, come tra poco vedremo vale

    \sin\left(75^{\circ}\right) \ = \ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

    Seno di 75° con le formule di addizione

    Dalla formula di addizione del seno sappiamo che

    \sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)

    Poiché conosciamo i valori di seno e coseno in corrispondenza degli angoli

    \alpha=45^{circ} \mbox{ e } \beta=30^{\circ}

    e, dal momento che

    75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}

    per calcolare il seno di 75 gradi possiamo utilizzare la formula di addizione del seno sostituendo i valori noti nella precedente formula

    \alpha \mbox{ con } 45^{\circ} \ \mbox{ e } \beta \mbox{ con } 30^{\circ}

    Procediamo:

    \begin{align*}\sin{75^{\circ}} \ & = \ \sin(45^{\circ}+30^{\circ}) = \\ \\ & = \ \sin(45^{\circ})\cos(45^{\circ})+\cos(45^{\circ})\sin(30^{\circ})= \\ \\ & = \ \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2} = \\ \\ & = \ \frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4} = \\ \\ & = \ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\end{align*}

    Nella formula precedente abbiamo sostituito:

    - il seno di 45 ed il coseno di 45 con

    \sin(45^{\circ})=\cos(45^{\circ}) \ = \ \frac{\sqrt{2}}{2}

    - il coseno di 30 con

    \cos(30^{\circ}) \ = \ \frac{\sqrt{3}}{2}

    - ed il seno di 30 con

    \sin(30^{\circ}) \ = \ \frac{1}{2}

    che sono tutti valori notevoli delle funzioni goniometriche e quindi vanno ricordati. ;)

    Seno di 75° con le formule per gli archi associati

    A patto di ricordare il valore del coseno di 15°, possiamo calcolare il seno di 75 ricorrendo alle formule sugli angoli associati.

    Poiché

    75^{\circ} \ = \ 90^{\circ}-15^{\circ}

    abbiamo che

    \sin(75^{\circ}) \ = \ \sin(90^{\circ}-15^{\circ}) \ = \ \cos(15^{\circ}) \ = \ \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}

    È tutto! Per fare un ripasso di tutte le formule goniometriche - click!

    Risposta di Galois
 
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