Derivata di e^2x

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Qual è la derivata di e^2x, ossia la derivata di e elevato alla 2x? Più che il risultato vorrei sapere come si ricava, ossia quali sono i metodi con cui si può calcolare la derivata prima della funzione f(x)=e^(2x).

 

In altre parole potreste spiegarmi come si calcola la derivata prima di e^(2x) con la definizione di derivata, e dirmi se esiste una regola di derivazione da usare come alternativa alla definizione?

Domanda di Galois

 
Soluzioni

  • La derivata di e^2x è uguale alla funzione stessa moltiplicata per 2, ossia la derivata di f(x)=e^(2x) è f'(x)=2e^(2x). Si può calcolare con la regola di derivazione delle funzioni composte oppure usando la definizione di derivata.

    (d)/(dx)[e^(2x)] = 2 e^(2x)

    Calcolo della derivata di e^2x

    Consideriamo la funzione

    h(x) = e^(2x)

    e osserviamo che è una funzione composta del tipo

    h(x) = g(f(x))

    con

    y = f(x) = 2x ; z = g(y) = e^y

    Per calcolarne la derivata applichiamo allora il teorema di derivazione della funzione composta, secondo cui la derivata della funzione h(x) = g(f(x)) è uguale alla derivata della funzione esterna (con argomento invariato) per la derivata della funzione interna. In formule:

    (d)/(dx)[g(f(x))] = g'(f(x))·f'(x)

    Nella funzione

    h(x) = g(f(x)) = e^(2x)

    la funzione esterna è la funzione esponenziale

    g(y) = e^(y) con y = 2x

    la cui derivata, con argomento invariato, è

    g'(y) = e^y

    dunque

    g'(f(x)) = e^(2x)

    La funzione interna è

    f(x) = 2x

    e la derivata di 2x è 2

    f'(x) = 2

    Di conseguenza

    (d)/(dx)[g(f(x))] = g'(f(x))·f'(x) = e^(2x)·2 = 2e^(2x)

    Calcolo della derivata di e^2x con la definizione

    Se non hai ancora studiato il teorema di derivazione della funzione composta, per calcolare la derivata di e^(2x) puoi applicare la definizione di derivata, ossia calcolare il limite del rapporto incrementale.

    Basta applicare la formula:

    f'(x) = lim_(h → 0) (f(x+h)-f(x))/(h)

    Procediamo. Sostituiamo l'espressione analitica della funzione

    f(x) = e^(2x)

    e la sua valutazione in x+h

    f(x+h) = e^(2(x+h)) = e^(2x+2h)

    In questo modo otteniamo:

    (d)/(dx)[e^(2x)] = lim_(h → 0) (e^(2x+2h)-e^(2x))/(h) =

    Per le proprietà delle potenze:

    = lim_(h → 0) (e^(2x)·e^(2h)-e^(2x))/(h) =

    Raccogliamo a fattor comune e^(2x)

    = lim_(h → 0) (e^(2x) (e^(2h)-1))/(h) =

    e portiamolo fuori dal limite. Possiamo farlo perché è una quantità che non dipende da h

    = e^(2x)·lim_(h → 0) (e^(2h)-1)/(h) = (•)

    Cerchiamo ora di ricondurci al limite notevole dell'esponenziale

    lim_(z → 0) (e^(z)-1)/(z) = 1

    Poniamo z = 2h, da cui otteniamo h = (z)/(2), e osserviamo che per h che tende a zero anche z tende a zero, per cui

    (•) = e^(2x)·lim_(z → 0) (e^(z)-1)/((z)/(2)) =

    Portiamo il 2 fuori dal limite

    = 2 e^(2x)·lim_(z → 0) (e^z-1)/(z) = 2 e^(2x)·1 = 2e^(2x)

    Finito! Anche la definizione di derivata conferma che la derivata di e^(2x) è 2e^(2x).

    ***

    Concludiamo con alcuni riferimenti utili:

    - calcolo delle derivate, una lezione sulle regole di derivazione;

    - derivate notevoli, dove trovi una tabella con tutte le derivate fondamentali;

    - derivate online, uno strumento con cui verificare i risultati degli esercizi.

    Risposta di Galois
 
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