Derivata di e^2x

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Quanto vale la derivata di e alla 2x? Oltre al risultato vorrei mi faceste vedere come si calcola la derivata di e^(2x).

Domanda di Galois

 
Soluzioni

  • La derivata di e^(2x) si calcola ricorrendo al teorema di derivazione della funzione composta o alla definizione di derivata prima e, come tra poco vedremo, vale:

    \frac{d}{dx}e^{2x} \ = \ 2 e^{2x}

     

    Derivata di e^(2x) come derivata di una funzione composta

    La funzione

    f(x)=e^{2x}

    è una funzione composta del tipo

    f(x)=e^{g(x)}, \mbox{ con } g(x)=2x

    Pertanto per calcolare la derivata prima di e^(2x) dobbiamo ricorrere al teorema di derivazione della funzione composta, in virtù del quale

    \frac{d}{dx}\left[e^{g(x)}\right] \ = \ e^{g(x)} \cdot \frac{d}{dx}[g(x)]

    Sostituendo g(x) con 2x otteniamo

    \frac{d}{dx}\left[e^{2x}\right] \ = \ e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}[2x] \ = \ e^{2x} \cdot 2 \ = \ 2 e^{2x}

    Infatti, dai risultati noti sulle le derivate fondamentali,

    \frac{d}{dx}[2x]=2

     

    Derivata di e^(2x) con la definizione

    Se non hai ancora studiato il teorema di derivazione della funzione composta, puoi calcolare la derivata di f(x)=e^{2x} ricorrendo alla definizione di derivata prima, ossia calcolando il limite del rapporto incrementale

    f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Sostituendo f(x) con e^{2x} si ottiene

    \begin{align*}\left[e^{2x}\right]'&=\lim_{h \to 0} \frac{e^{2(x+h)}-e^{2x}}{h}= \\ \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{e^{2x+2h}-e^{2x}}{h} \end{align*}

    Per le proprietà delle potenze

    e^{2x+2h}=e^{2x}\cdot e^{e^2h}

    E, dopo aver fatto questa sostituzione, possiamo raccogliere a fattor comune il fattore e^{2x} per poi portarlo fuori dal limite, in quanto è una quantità che non dipende da h. Pertanto:

    \begin{align*}\left[e^x\right]'&=\lim_{h \to 0} \frac{e^{2(x+h)}-e^{2x}}{h} = \\ \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{e^{2x+2h}-e^{2x}}{h} = \\ \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{2x} \cdot e^{2h} - e^{2x}}{h} = \\ \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{e^{2x}\left(e^{2h}-1\right)}{h}= \\ \\ & = e^{2x} \cdot \lim_{h\to 0}\frac{e^{2h}-1}{h}\end{align*}

    Ci rimane da calcolare

    \lim_{h\to 0} \frac{e^{2h}-1}{h}

    Moltiplicando e dividendo per 2 ci riconduciamo al limite notevole dell'esponenziale

    \lim_{h\to 0} \frac{e^{2h}-1}{h} = 2 \cdot \lim_{h\to 0} \frac{e^{2h}-1}{2h}= 2 \cdot 1 = 2

    Ricapitolando:

    \begin{align*}\left[e^x\right]'&=\lim_{h \to 0} \frac{e^{2(x+h)}-e^{2x}}{h} = \\ \\ & = e^{2x} \cdot \lim_{h\to 0}\frac{e^{2h}-1}{h} = \\ \\ & = e^{2x} \cdot 2 = \\ \\ & = 2e^{2x}\end{align*}

    Come puoi vedere qualsiasi sia il metodo scelto si ottiene che la derivata di e alla 2x è 2e2x.

    Per un ripasso sulle derivate - click!

    Risposta di Galois
 
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