Derivata di e^2x
Qual è la derivata di e^2x, ossia la derivata di e elevato alla 2x? Più che il risultato vorrei sapere come si ricava, ossia quali sono i metodi con cui si può calcolare la derivata prima della funzione f(x)=e^(2x).
In altre parole potreste spiegarmi come si calcola la derivata prima di e^(2x) con la definizione di derivata, e dirmi se esiste una regola di derivazione da usare come alternativa alla definizione?
La derivata di e^2x è uguale alla funzione stessa moltiplicata per 2, ossia la derivata di f(x)=e^(2x) è f'(x)=2e^(2x). Si può calcolare con la regola di derivazione delle funzioni composte oppure usando la definizione di derivata.
Calcolo della derivata di e^2x
Consideriamo la funzione
e osserviamo che è una funzione composta del tipo
con
Per calcolarne la derivata applichiamo allora il teorema di derivazione della funzione composta, secondo cui la derivata della funzione è uguale alla derivata della funzione esterna (con argomento invariato) per la derivata della funzione interna. In formule:
Nella funzione
la funzione esterna è la funzione esponenziale
la cui derivata, con argomento invariato, è
dunque
La funzione interna è
e la derivata di 2x è 2
Di conseguenza
Calcolo della derivata di e^2x con la definizione
Se non hai ancora studiato il teorema di derivazione della funzione composta, per calcolare la derivata di e^(2x) puoi applicare la definizione di derivata, ossia calcolare il limite del rapporto incrementale.
Basta applicare la formula:
Procediamo. Sostituiamo l'espressione analitica della funzione
e la sua valutazione in
In questo modo otteniamo:
Per le proprietà delle potenze:
e portiamolo fuori dal limite. Possiamo farlo perché è una quantità che non dipende da
Cerchiamo ora di ricondurci al limite notevole dell'esponenziale
Poniamo , da cui otteniamo
, e osserviamo che per
che tende a zero anche
tende a zero, per cui
Portiamo il 2 fuori dal limite
Finito! Anche la definizione di derivata conferma che la derivata di e^(2x) è 2e^(2x).
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Concludiamo con alcuni riferimenti utili:
- calcolo delle derivate, una lezione sulle regole di derivazione;
- derivate notevoli, dove trovi una tabella con tutte le derivate fondamentali;
- derivate online, uno strumento con cui verificare i risultati degli esercizi.