Derivata di e alla x
Qual è la derivata di e^x, ossia la derivata della funzione esponenziale y=ex? Vorrei sapere quanto vale la derivata di e alla x, e soprattutto come si calcola, possibilmente con tutti i passaggi scritti e commentati.
Il mio libro la elenca tra le derivate notevoli, dunque si limita a fornire il risultato e a suggerire di verificarlo mediante l'applicazione della definizione di derivata. Purtroppo però non so cosa fare, e quindi ho deciso di rivolgermi a voi.
La derivata di e alla x è uguale alla funzione stessa, ossia la derivata di f(x)=e^x è f'(x)=e^x; la derivata della funzione esponenziale è una delle derivate notevoli e si calcola con la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.
![(d)/(dx)[ e^x ] = e^x](/images/joomlatex/3/5/353871dd9172bbeb612596599a668e1f.gif)
Come calcolare la derivata di e alla x
Consideriamo la funzione esponenziale
Usiamo la definizione di derivata e scriviamo il rapporto incrementale in un generico punto 
del dominio
Sostituiamo l'espressione analitica della funzione e la sua valutazione in 
La derivata di 
è il limite per 
che tende a zero del rapporto incrementale
![(d)/(dx)[e^x] = lim_(h → 0) (e^(x+h)-e^x)/(h) =](/images/joomlatex/a/6/a61794aaa362450797845495c4127276.gif)
Calcoliamolo! Per prima cosa usiamo una delle proprietà delle potenze e scriviamo 
come prodotto tra ed 
e portiamolo fuori dal limite. Possiamo farlo perché è una quantità che non dipende da
quello che rimane è il limite notevole dell'esponenziale, che è uguale a 1
Ci siamo! In pochi e semplici passaggi abbiamo dimostrato che la derivata di ex è uguale a ex
![(d)/(dx)[e^x] = e^x](/images/joomlatex/4/4/44508755d64cc22e5ee3ac79ea3577e8.gif)
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Ci fermiamo qui, ma se vuoi approfondire puoi leggere la lezione sul calcolo delle derivate e quella sulle derivate fondamentali.
Ti consigliamo anche il tool per il calcolo delle derivate online, con cui puoi verificare i risultati degli esercizi ;)