Soluzioni
  • La derivata di e alla x è una delle derivate notevoli e vale ex, ossia la derivata della funzione esponenziale ex coincide con la funzione stessa.

    \frac{d}{dx}\left[ e^x \right]=e^x

     

    Come calcolare la derivata di e alla x

    Per calcolare la derivata di e^x occorre procedere con la definizione di derivata prima la quale è definita come il limite del rapporto incrementale:

    f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

    Pertanto, per calcolare la derivata prima di ex occorre sostituire, nella formula precedente f(x) \mbox{ con } e^x e calcolare

    \left[e^x\right]'=\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}

    Per le proprietà della potenze

    e^{x+h}=e^x \cdot e^h

    Pertanto

    \begin{align*}\left[e^x\right]'&=\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \\ \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} \end{align*}

    Possiamo ora effettuare un raccoglimento totale del fattore e^x per poi portarlo fuori dal limite in quanto è una quantità che non dipende da h. Ricapitolando:

    \begin{align*}\left[e^x\right]'&=\lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} = \\ \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{e^x \cdot e^h - e^x}{h} = \\ \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{e^x\left(e^h-1\right)}{h}= \\ \\ & = e^x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h}\end{align*}

    Ci siamo così ricondotti al limite notevole dell'esponenziale che vale 1:

    \lim_{h\to 0} \frac{e^h-1}{h}=1

    Possiamo allora concludere che la derivata prima di e alla x è

    \left[e^x\right]' \ = \ \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h} \ = \ e^x \cdot \lim_{h\to 0}\frac{e^h-1}{h} \ = \ e^x \cdot 1 = e^x

     

    Per un ripasso sulle derivate - click!

    Risposta di Galois
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