Esercizio sup e inf, massimo e minimo di successione
Allora questa volta ho riprovato un esercizio su sup e inf, max e min di una successione e mi sono approcciato all'esercizio però in maniera più critica e sono arrivato fino ad un certo punto. La successione è la seguente:
Allora prima di tutto ho applicato il ragionamento di prima, ed escludendo 0 il più piccolo valore che può accettare la successione è 1 quindi per n che tende ad 1, otteniamo 5 che teoricamente sarebbe l'inf (il libro dice sup e non ho capito perché).
Dopodichè passiamo alla monotonia e credo sia decrescente di conseguenza imposto la disequazione
3+2/n ≧ 3+2/n+(n+1)
però risolvendola non mi riesce, quindi ne deduco che è crescente e di coneguenza tutto ciò che avevo pensato era errato. XD
Help! Omega, correggimi fino qui, poi nel caso studio il limite per n->00 e vedo se è limitata.
Ti rispondo io tra un attimo
Iniziamo riscrivendo la successione come
si vede subito che il valore massimo che la successione può assumere è per n=1 cioè 5, quindi il tuo ha ragione, infatti al crescere di n la frazione 2/n diventa sempre più piccola. Da questo ragionamento deduciamo anche che la successione è decrescente, quindi raggiungerà l'inf al tendere di n all'infinito, visto che lo vuoi fare tu non risolvo il limite, ma ti anticipo che basta un semplice confronto tra infiniti, utilizzando la prima scrittura e una valutazione utilizzando la seconda!
il valore massimo che può raggiungere è 5 perché all'aumentare di n il rapporto di quella frazione diminuisce giusto? ok fin qui c'ero poi però omega mi ha consigliato di dimostrare la monotonia impostando la disequazione; è corretta come l'ho posta?
Non è necessario farlo una volta che l'hai riscritta nell'altro modo perché 3 è costante e 2/n non può fare altro che diminuire, ti assicuro che conosco da abbastanza tempo Omega da sapere che sarebbe d'accordo con me.
Comunque è quasi giusta, la disequazione corretta è questa:
cioè
In sostanza se vuoi dimostrare che la successsione decresce devi far vedere che il termine n-eimo è più grande del termine (n+1)-esimo. Dove il termine n-esimo è dato da
e il termine (n+1)-esimo si ricava sostituendo n+1 al posto di n:
ok perfetto quindi basta sostituire n+1 ad n per ottenre il termine ennesimo più 1 ( questo in generale per gli esercizi) ok quindi dopo aver fatto ciò so che 5 è il sup la funzione decresce, 5 è anche massimo quindi? e per quanto riguarda l'inf mi studio il limite poi?
Esattamente, l'estremo superiore è anche massimo se viene raggiunto dalla successione, in questo caso la successione assume valore 5 per n=1, quindi, si. Studia il limite per ottere l'inf.
e in questo caso il limite viene 3 che sarebbe l'inf e anche minimo? (perché anche minimo)
Solo inf perchè se il valore tre viene ottenuto come limite non può appartenere alla successione, e quindi non può essere minimo...
Namasté - Agente
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