Soluzioni
  • sen(x)+cos(x)=1 è un'equazione lineare non omogenea in seno e coseno, ossia un'equazione della forma

    a\sin(x)+b\cos(x)=c

    dove i coefficienti sono a=1, b=1 e c=1.

     

    Le soluzioni dell'equazione sen(x)+cos(x)=1 sono:

    x=2k\pi \ \mbox{ e } \ x=\frac{\pi}{2}+2k\pi

    con k che varia nell'insieme \mathbb{Z} dei numeri interi relativi.

    Per risolvere sen(x)+cos(x)=1 possiamo procedere in tre modi distinti, alcuni più immediati ed altri un po' meno, ma se applicati correttamente tutti porteranno alle stesse soluzioni.

     

    sen(x)+cos(x)=1 con le formule parametriche

    Il metodo più utilizzato per risolvere l'equazione goniometrica sen(x)+cos(x)=1 consiste nell'utilizzo delle formule parametriche:

    \begin{matrix}\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2} \\ \\ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{matrix} \ \ \ \mbox{con } t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

    Tali formule permettono di scrivere seno e coseno di x in funzione della tangente di x/2 e quindi passare da un'equazione con seno e coseno ad un'equazione con la sola tangente.

    Prima di procedere alla sostituzione dobbiamo però verificare se l'equazione è soddisfatta

    x=-\pi \mbox{ e } x=\pi

    che sono i valori per cui non è definita la tangente di x/2.

    Per x=\pi:

    \sin(x)+\cos(x)=\sin(\pi)+\cos(\pi)=0-1=-1 \neq 1

    Per x=-\pi:

    \sin(x)+\cos(x)=\sin(-\pi)+\cos(-\pi)=0-1=-1 \neq 1

    Possiamo ora utilizzare le formule parametriche e procedere alla sostituzione.

    \sin(x)+\cos(x)=1 \iff \frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=1

    Portiamo l'1 a primo membro, calcoliamo il minimo comune multiplo tra i polinomi a denominatore e sommiamo i monomi simili:

    \frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=1 \iff \frac{2t+1-t^2-1-t^2}{1+t^2}=0 \iff \frac{-2t^2+2t}{1+t^2}=0

    Ci siamo così ricondotti ad un'equazione fratta di secondo grado. Osserviamo che a denominatore è presente una somma di quadrati avente uno dei due termini uguale ad 1; come tale è una quantità positiva e non nulla. Possiamo quindi tralasciarla senza problemi e trovare quali sono i valori che annullano il numeratore.

    -2t^2+2t=0 \iff 2t^2-2t=0

    Possiamo raccogliere a fattor comune il fattore 2t per poi applicare la legge di annullamento del prodotto

    2t^2-2t=0 \iff 2t(t-1)=0 \iff t=0 \mbox{ oppure } t=1

    Dobbiamo ora tornare alla variabile x. Poiché

    t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

    dobbiamo imporre che sia

    \tan\left(\frac{x}{2}\right)=0 \ \mbox{ e } \ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=1

    e quindi risolvere queste due equazioni goniometriche elementari.

    Ricordando i valori notevoli delle funzioni goniometriche si ha:

    \\ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=0 \iff \frac{x}{2}=0+k\pi \iff x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}\\ \\ \\ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=1 \iff \frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+k\pi \iff x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

     

    sen(x)+cos(x)=1 col metodo del passaggio al sistema

    Ponendo

    \cos(x)=X \ \mbox{ e } \ \sin(x)=Y

    possiamo riscrivere l'equazione sen(x)+cos(x)=1 come

    X+Y=1

    Inoltre, per la relazione fondamentale della Trigonometria

    \cos^2(x)+\sin^2(x)=1

    che diventa

    X^2+Y^2=1

    Quindi risolvere l'equazione sen(x)+cos(x)=0 equivale a trovare i punti di intersezione tra la retta

    X+Y=1

    e la circonferenza

    X^2+Y^2=1

    e ciò equivale a risolvere il sistema

    \begin{cases}X+Y=1 \\ X^2+Y^2=1\end{cases}

    Procediamo col metodo di sostituzione per i sistemi ricavando il valore della X in funzione della Y nella prima equazione e sostituendo nella seconda

    \begin{cases}X=1-Y \\ (1-Y)^2+Y^2=1\end{cases}

    Sviluppando il quadrato di binomio e sommando i termini simili la seconda equazione diventa

    2Y^2-2Y=0 \iff 2Y(Y-1)=0 \iff Y=0 \ \vee \ Y=1

    Sostituendo nella prima equazione del sistema otteniamo le due coppie di soluzioni

    \\ \begin{cases}X=1 \\ Y=0\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}X=0 \\ Y=1\end{cases}

    Ritorniamo ora a seno e coseno

    \\ \begin{cases}\cos(x)=1 \\ \sin(x)=0\end{cases} \\ \\ \begin{cases}\cos(x)=0 \\ \sin(x)=1\end{cases}

    Il primo sistema è soddisfatto per

    x=2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

    mentre il secondo sistema ha per soluzione

    x=\frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

    Abbiamo così trovato le stesse soluzioni per l'equazione sen(x)+cos(x)=1.

     

    sen(x)+cos(x)=1 col metodo dell'angolo ausiliario

    Il metodo dell'angolo ausiliario consente di passare da un'equazione lineare in seno e coseno qual è sen(x)+cos(x)=1, ad un'equazione elementare col solo seno.

    Per far ciò occorre trovare un angolo α tale per cui

    \begin{cases}\sin(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \\ \cos(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}

    per poi risolvere l'equazione

    \sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}

    dove a e b sono, rispettivamente, i coefficienti di seno e coseno mentre c è il termine noto dell'equazione di partenza.

    Nel caso dell'equazione sen(x)+cos(x)=1 dobbiamo allora risolvere

    \sin(x+\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}

    dove è α quell'angolo tale che

    \begin{cases}\sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \cos(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

    Poiché nell'intervallo [0,2π) sia il seno che il coseno valgono 1/√2 per x=π/4 abbiamo che l'angolo ausiliario cercato vale

    \alpha=\frac{\pi}{4}

    e l'equazione

    \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}

    è soddisfatta per

    x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \mbox{ oppure per } x+\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi +2k\pi

    ossia per

    x=2k\pi \mbox{ oppure per } x=\frac{\pi}{4}+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

     

    Abbiamo finito! Per un ripasso sui metodi risolutivi delle equazioni lineari in seno e coseno - click!

    Risposta di Galois
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