Soluzioni
  • x^2=4 è un'equazione di secondo grado che ammette due soluzioni reali e distinte: x=-2 e x=2. Per risolvere l'equazione x^2=4 si può procedere in tre modi distinti. La scelta del metodo da utilizzare è del tutto libera e, qualsiasi sia il metodo scelto, si ricade sempre nelle stesse soluzioni.

     

    Risolvere x^2=4 mediante scomposizione

    Portando il termine noto a primo membro

    x^2-4=0

    ricadiamo in un'equazione in cui al primo membro compare una differenza di quadrati; possiamo allora scomporre il polinomio a primo membro come prodotto tra la somma e la differenza delle basi dei quadrati:

    x^2-4=0 \iff (x+2)(x-2)=0

    Applichiamo poi la legge di annullamento del prodotto, secondo la quale un prodotto è nullo se almeno uno dei due fattori è uguale a zero.

    x^2-4=0 \iff (x+2)(x-2)=0 \iff \left\{ \begin{matrix} x+2=0 \ \to \ x=-2 \\ \\ \mbox{ oppure } \\ \\ x-2=0 \ \to \ x=2\end{matrix}

    Come ci aspettavamo, x^2-4=0 e soddisfatta per x=-2 oppure per x=2.

    In generale, il metodo della scomposizione non è sempre applicabile e, in caso lo sia, occorre ricordare e riconoscere i prodotti notevoli.

     

    Risolvere x^2=4 col metodo del discriminante

    Come anticipato inizialmente, x^2=4 è un'equazione di secondo grado che quindi può essere risolta col metodo risolutivo per le equazioni di secondo grado. Procediamo!

    Dopo aver portato tutto a primo membro

    x^2-4=0

    ricadiamo in un'equazione della forma

    ax^2+bx+c=0

    i cui coefficienti sono a=1, \ b=0, \ c=-4

    Il discriminante associato a tale equazione è

    \Delta=b^2-4ac=0^2-4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16

    che è un numero positivo, quindi tale equazione avrà due soluzioni reali e distinte che si trovano applicando la seguente formula

    x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{0\pm \sqrt{16}}{2\cdot 1}=\pm \frac{4}{2}=\pm 2

    Anche in questo caso siamo ricaduti nelle soluzioni x=-2 e x=2.

     

    Risolvere x^2=4 come equazione pura

    Dopo aver riscritto x^2=4 come

    x^2-4=0

    possiamo osservare che si tratta di un'equazione pura, ossia di un'equazione di secondo grado della forma

    ax^2+c=0

    con a=1 \mbox{ e } c=-4

    Se, come nel nostro caso, a e c sono due numeri discordi allora tale equazione ha come soluzioni

    x_{1,2}=\pm \sqrt{\frac{-c}{a}}=\pm\sqrt{\frac{-(-4)}{1}}=\pm \sqrt{4}=\pm 2

     

    È tutto! Qualora volessi vedere come si risolve la relativa disequazione puoi leggere la nostra lezione sulle disequazioni di secondo grado - click!

    Risposta di Galois
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