Area dell'ellisse

Come si calcola l'area dell'ellisse? Oltre alla formula potreste mostrarmi qualche esempio e farmi vedere come si calcola l'area dell'ellisse con gli integrali? Infine, potreste fornirmi la dimostrazione della formula sull'area dell'ellisse?

In Uni - Analisi - Domanda di FAQ

Soluzioni

L'area dell'ellisse si trova moltiplicando per Pi Greco il prodotto tra i semiassi dell'ellisse; pertanto, indicati con a e b i due semiassi, la formula che permette di calcolare l'area dell'ellisse è la seguente:

$\mbox{Area ellisse } = \pi \cdot a \cdot b$

Esempio sul calcolo dell'area di un ellisse

Trovare l'area dell'ellisse di equazione

Svolgimento: per trovare l'area dell'ellisse ci occorre la misura dei due semiassi a e b. Scriviamo allora l'equazione dell'ellisse in forma canonica dividendo tutto per 12:

$\frac{x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}-\frac{12}{12}=0 \ \to \ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$

Dall'equazione canonica si ricava immediatamente il quadrato dei semiassi:

$a^2=12 \ \mbox{ e } \ b^2=3$

Estraendo la radice di 12 e la radice di 3 si trova la misura dei due semiassi a e b:

$a=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \ \mbox{ e } \ b=\sqrt{3}$

Come abbiamo già visto, l'area dell'ellisse si ottiene moltiplicando Pi Greco per il prodotto dei due semiassi, ossia

$\mbox{Area Ellisse } = \ \pi \cdot a \cdot b \ = \ \pi \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \ = \ 6\pi$

Per vedere come si calcola il perimetro dell'ellisse - click!

Se non hai ancora studiato gli integrali puoi fermarti qui con la lettura e, magari, ripetere tutte le formule sull'ellisse cliccando sul link precedente.

Area ellisse con integrale

Dato un'ellisse di equazione

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

possiamo calcolare la sua area ricorrendo al calcolo integrale:

$\mbox{Area ellisse } = \ \frac{4b}{a}\int_{0}^{a}\sqrt{a^2-x^2} \ dx$

Per capire da dove vien fuori la formula sull'area dell'ellisse con integrale disegniamo un'ellisse nel piano cartesiano con centro nell'origine degli assi:

Fatto ciò esplicitiamo l'equazione dell'ellisse esprimendo la variabile y in funzione della variabile x

$\\ \frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2} \\ \\ \frac{y^2}{b^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2} \\ \\ y^2 = \frac{b^2(a^2-x^2)}{a^2} \\ \\ y = \pm \sqrt{\frac{b^2}{a^2}\left(a^2-x^2\right)} \\ \\ y=\pm \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$

Nel togliere la quantità b/a fuori dalla radice quadrata abbiamo omesso il valore assoluto in quanto sia b che a esprimono la misura dei semiassi dell'ellisse e quindi sono quantità non negative.

A questo punto osserviamo che la curva che definisce l'ellisse è simmetrica rispetto all'asse x e rispetto all'asse y, pertanto possiamo limitarci a calcolare l'area della porzione di ellisse nel primo quadrante e poi moltiplicare il tutto per 4.

In accordo con quanto visto nella lezione sull'area con gli integrali possiamo concludere che l'area dell'ellisse è con gli integrali si ottiene come segue:

$\mbox{Area Ellisse } = \ 4 \int_{0}^{a} \left[\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\right] \ dx \ = \ \frac{4b}{a}\int_{0}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \ dx$

Dimostrazione della formula sull'area dell'ellisse

Per dimostrare la formula sul calcolo dell'area di un'ellisse

$\mbox{Area ellisse } = \pi \cdot a \cdot b$

è sufficiente risolvere l'integrale

$\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \ dx$

il quale, come visto poc'anzi, esprime proprio l'area di un'ellisse di equazione

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Ora,

$\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \ dx$

è un'integrale di una funzione irrazionale con sostituzione goniometrica.

Poiché a>0 e la funzione integranda è della forma $f(x)=\sqrt{a^2-x^2}$ dobbiamo sostituire $x \mbox{ con } a \sin(t)$ . Con tale sostituzione il differenziale diventa

$dx= a \cos(t) \ dt$

ed i nuovi estremi d'integrazione saranno $0 \mbox{ e } \frac{\pi}{2}$ .

Alla luce di questa sostituzione

$\frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \ dx \ = \ \frac{4b}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\sqrt{a^2-a^2 \sin^2(t)} \cdot a \cos(t)\right] dt$

A questo punto raccogliamo a fattor comune il fattore a² e togliamolo fuori dal segno di radice. Ancora una volta possiamo omettere il valore assoluto in quanto a>0.

$\begin{align*}\frac{4b}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\sqrt{a^2-a^2 \sin^2(t)} \cdot a \cos(t)\right] dt \ & = \ \frac{4b}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[a\sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot a \cos(t)\right] \ dt \ = \\ \\ & = \ \frac{4b}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[a^2 \cdot \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t)\right] \ dt \end{align*}$

Portiamo il fattore a² fuori dal segno di integrale e, ricorrendo alle formule trigonometriche sostituiamo

$1-\sin^2(t) \mbox{ con } \cos^2(t)$

Ecco tutti i passaggi:

$\begin{align*}\frac{4b}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\sqrt{a^2-a^2 \sin^2(t)} \cdot a \cos(t)\right] dt \ & = \ \frac{4b}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[a\sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot a \cos(t)\right] \ dt \\ \\ & = \ \frac{4b}{a} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[a^2 \cdot \sqrt{1-\sin^2(t)} \cdot \cos(t) \right] \ dt \\ \\ & = \ 4ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\sqrt{\cos^2(t)} \cdot \cos(t)\right] \ dt = \\ \\ & = \ 4ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[\cos(t) \cdot \cos(t)\right] \ dt = \\ \\ & = 4ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(t) \ dt\end{align*}$

Osserviamo che

$\sqrt{\cos^2(t)}=|\cos(t)|$

ma, poiché t varia nell'intervallo [0,2π] possiamo omettere il valore assoluto in quanto in tale intervallo il coseno è non negativo.

Non ci rimane altro da fare se non calcolare l'integrale del coseno al quadrato che vale

$\int\left[\cos^2(t)\right] \ dt \ = \ \frac{1}{2}\left(\sin(x)\cos(x)+x\right)+c, \ c \in \mathbb{R}$

Pertanto, riassumendo quanto fatto finora:

$\begin{align*}\mbox{Area Ellisse } & = \ \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \ dx \ = \\ \\ & = \ 4ab \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(t) \ dt = \\ \\ & = \ 4ab \left[\frac{1}{2}\left(\sin(x) \cos(x) + x \right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \\ \\ & = \ 4ab \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}-0\right) = 4ab \cdot \frac{\pi}{4} \ = \\ \\ & = \ \pi a b \end{align*}$

Abbiamo così dimostrato che l'area dell'ellisse è proprio πab.

Risposta di Galois