Ti rispondo subito xavier310!
Attenzione alle basi, non è vero che R3 ha solo quella base, quella è la base canonica, ma è sufficiente trovare tre vettori linearmente indipendenti in R3 per ottenere un'altra base.
La dimensione di uno spazio vettoriale è definita come il numero di vettori della base, cioè di una base qualunque, tanto, tale numero, non può certo cambiare!
I numeri complessi possono essere definiti come una coppia di numeri reali (a,b), definendo la somma e il prodotto tra tali coppie come segue:
Dunque sostanzialmente questo spazio può essere pensato come una copia di R2 che su R ha dimensione 2, quindi dimR(C)=2.
Allo stesso modo i numeri complessi sono un campo e la dimensione di C su se stesso non può che essere 1.
Alpha.
Quindi in R3 non può esserci una base con due vettori linearmente indipendenti? Perchè? E cosa si intende per base canonica?
La base deve generare tutto lo spazio vettoriale, come potrebbe un insieme di soli due vettori generare tutto R3? Non è possibile, genererebbe un sottospazio vettoriale di dimensione 2. In sostanza il numero di vettori indipendenti di un sistema di generatori ti dà la dimensione dello spazio.
Ad esempio l'insieme {(1,0,0) ; (0,1,0), (0,0,1); (1,0,1)} è un sistema di generatori di R3 , ma non è una base, infatti il quarto vettore è combinazione lineare del primo e del terzo:
(1,0,0)+(0,0,1)=(1,0,1)
Il numero di vettori linearmente indipendenti del sistema di generatori è 3, cioè la dimensione dello spazio.
La base canonica è una base standard, come dire, un set di vettori linearmente indipendenti, e sono i vettori ei della forma (0,0,...,0,1,0,..0) dove 1 è l'iesima componente del vettore.
Dunque, ad esempio la base canonica di R4 è data dai vettori
{(1,0,0,0) ; (0,1,0,0), (0,0,1,0); (0,0,0,1)}
che chiamiamo e1,e2,e3,e4 .
Alpha.
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