Soluzioni
  • Il perimetro dell'ellisse si calcola moltiplicando per 2 Pi Greco la radice quadrata della semisomma tra i quadrati dei semiassi dell'ellisse, ossia la formula che permette di calcolare il perimetro dell'ellisse è:

    \mbox{Perimetro ellisse } \simeq \ 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

    dove a e b indicano la misura dei due semiassi dell'ellisse. Da notare che la formula fornisce un'approssimazione della lunghezza dell'ellisse perché, come vedremo in seguito, il metodo per ricavarla non consente un calcolo diretto.

     

    Perimetro ellisse

     

    Osservazione sulla formula per il calcolo del perimetro di un'ellisse

    Ci teniamo a precisare che la formula sul calcolo del perimetro dell'ellisse appena scritta fornisce solo un valore approssimato per eccesso dell'effettivo perimetro dell'ellisse.

    Per rendersene conto è sufficiente confrontare la formula per il calcolo del perimetro dell'ellisse con la formula che permette di calcolare la misura della circonferenza:

    \\ \mbox{Perimetro ellisse } \simeq \ 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \\ \\ \mbox{Misura circonferenza } = \ 2 \cdot \pi \cdot r

    Come possiamo notare, calcolare il perimetro dell'ellisse con la formula data equivale ad assumere che l'ellisse sia una circonferenza con raggio r uguale alla media quadratica della misura dei semiassi dell'ellisse, ossia

    r=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}

     

    Esempio sul perimetro di un'ellisse

    Calcolare il perimetro dell'ellisse di equazione

    x^2+2y^2=16

    Svolgimento: per calcolare il perimetro dell'ellisse ci occorre la semisomma dei quadrati dei semiassi. Scriviamo allora l'equazione dell'ellisse in forma canonica dividendo tutto per 16

    \frac{x^2}{16}+\frac{2y^2}{16}=\frac{16}{16} \ \to \ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1

    Da tale equazione di ricavano immediatamente i quadrati dei semiassi

    a^2=16\ \ \ ;\ \ \ b^2 = 8

    Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per trovare il perimetro dell'ellisse

    \begin{align*}2p \ & \simeq \ 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} = \\ \\ & = \ 2 \pi \sqrt{\frac{16+8}{2}} = \\ \\ & = \ 2\pi\sqrt{12}\end{align*}

    A questo punto possiamo scegliere di lasciare il risultato espresso così com'è oppure scriverlo come numero decimale sostituendo Pi Greco con 3,14 e la radice di 12 con 3,46.

    2p \ \simeq \ 2\pi\sqrt{12} \ \simeq \ 21,7

    Per vedere come si calcola l'area dell'ellisse - click!

    Se non hai ancora studiato gli integrali puoi fermarti qui con la lettura e magari fare un ripasso sull'ellisse leggendo la lezione del link, in caso contrario puoi leggere quello che segue. ;)

     

    Perimetro di un'ellisse con gli integrali

    Calcolare il perimetro di un'ellisse equivale a calcolare la lunghezza della curva chiusa che delimita l'ellisse e, per far ciò, possiamo ricorrere al calcolo integrale.

    Supponendo che l'equazione dell'ellisse di cui vogliamo calcolare il perimetro sia della forma

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, \mbox{ con } a\ge b

    allora il perimetro dell'ellisse e quindi la lunghezza della curva che lo delimita si ottiene approssimando il valore del seguente integrale ellittico (che non può essere calcolato esplicitamente):

    4a \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[1-e^2 \sin^2(\theta)\right]d\theta

    dove e rappresenta l'eccentricità dell'ellisse, ossia

    e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}

    Per approfondire questo argomento rimandiamo al nostro articolo sulla lunghezza di una curva - click! ;)

    Risposta di Galois
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