Soluzioni
  • I multipli di 3 sono lo zero e tutti i numeri interi (positivi e negativi) divisibili per 3, come ad esempio 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30. In altre parole un multiplo di 3 può essere positivo, negativo o nullo, purché sia divisibile per 3, vale a dire che il resto della divisione tra il numero e 3 dev'essere uguale a zero.

    Ad esempio 12 è un multiplo di 3, infatti

    12:3 = 4 resto 0

    Al contrario 5 non è un multiplo di 3, in quanto

    5:3 = 1 resto 2

    Diffidate da chi sostiene che i multipli di 3 sono i numeri dispari: 5 è dispari, ma non è un multiplo di 3, mentre il numero 12, sebbene sia pari, è un multiplo di 3.

    Sul calcolo dei multipli di 3 possiamo dire che si ottengono moltiplicando 3 per ciascuno dei numeri interi relativi, che sono lo zero e i numeri interi preceduti dal segno più o dal segno meno. Da ciò si deduce che i multipli di 3 sono infiniti, quindi è impossibile scrivere un elenco che il contenga tutti.

    Ad esempio:

    - alcuni multipli non negativi di 3 sono i risultati della tabellina del 3

    0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30

    e si calcolano moltiplicando 3 per i numeri naturali compresi tra 0 e 10.

    - Alcuni multipli negativi di 3 sono

    -3, -6, -9, -12, -15, -18, -21, -24, -27, -30

    e si ricavano moltiplicando 3 per i numeri interi negativi compresi tra -1 e -10.

    Se è la prima volta che vedi numeri preceduti dal segno meno, niente paura. Quello dei multipli di un numero è un argomento che viene studiato prima dell'insieme Z dei numeri interi relativi, ma che viene ripreso anche successivamente.

    Se ancora non sai cosa sono i numeri negativi, per il momento puoi limitarti a considerare solo i multipli positivi di 3, dati dal prodotto tra 3 e i numeri naturali.

    Come stabilire se un numero è un multiplo di 3

    Per stabilire se un numero è un multiplo di 3 si deve controllare se esso è divisibile per 3: se lo è, allora è un suo multiplo, in caso contrario, non lo è.

    Per effettuare la verifica possiamo procedere in vari modi, e in particolare:

    - calcolare il quoziente e il resto della divisione per 3;

    - scomporre il numero in fattori primi;

    - servirci del criterio di divisibilità per 3.

    Se il numero da controllare è negativo, è preferibile considerare il suo opposto, indipendentemente da quale sia il metodo scelto.

    Controllo dei multipli di 3 con la divisione

    Il primo metodo che proponiamo è quello di svolgere la divisione tra il numero considerato e 3, e di controllare il resto:

    - se è zero, allora il numero è un multiplo di 3;

    - se è diverso da zero, allora il numero non è un multiplo di 3.

    Facciamo un esempio e stabiliamo quali tra 9, 17, 21, 33 e 50 sono multipli di 3.

    Calcoliamo le rispettive divisioni per 3:

     9:3 = 3 resto 0 ; 17:3 = 5 resto 2 ; 21:3 = 7 resto 0 ; 33:3 = 11 resto 0 ; 50:3 = 16 resto 2

    I multipli di 3 tra i numeri considerati sono 9, 21 e 33, perché i resti delle loro divisioni per 3 sono nulli.

    Controllo dei multipli di 3 con la scomposizione in fattori primi

    In alternativa per controllare se un numero è un multiplo di 3 è sufficiente calcolare la sua scomposizione in fattori primi e analizzarne i fattori: se tra essi compare il numero 3 con esponente maggiore o uguale a 1, allora è un multiplo di 3; in caso contrario non lo è.

    Ad esempio 6, 45 e 54 sono multipli di 3, perché nelle rispettive scomposizioni in primi c'è il numero 3

     6 = 2×3 ; 45 = 3^2×5 ; 54 = 2×3^3

    Al contrario 25, 26 e 70 non sono multipli di 3, infatti

     25 = 5^2 ; 26 = 2×13 ; 70 = 2×7×5

    Controllo dei multipli di 3 con il criterio di divisibilità

    L'ultimo metodo che proponiamo è l'applicazione del criterio di divisibilità per 3, che si rivela utile soprattutto quando il numero da controllare ha tre o più cifre, e quindi diventa laborioso dividerlo per 3 o scomporlo in fattori primi.

    Vi anticipiamo però che poterlo applicare si devono conoscere quantomeno i multipli di 3 a una cifra, che sono 3, 6 e 9.

    Il criterio di divisibilità per 3 stabilisce infatti che un numero è divisibile per 3, e quindi è un suo multiplo, se e solo se la somma delle sue cifre è un multiplo di 3.

    Qualora la somma fosse un numero grande, per cui non è immediato stabilire se si tratta di un multiplo di 3, possiamo reiterare il procedimento, fino a ottenere un numero che ha una sola cifra.

    Facciamo un paio di esempi:

    • 1322 non è un multiplo di 3, in quanto la somma delle sue cifre è 8

    1+3+2+2 = 8

    e non rientra tra i multipli di 3.

    • 899898 è un multiplo di 3, infatti la somma delle sue cifre è 51

    8+9+9+8+9+8 = 51

    che a sua volta è un multiplo di 3 perché la somma delle sue cifre è 6.

    5+1 = 6

    ***

    Ci fermiamo qui, ma consigliamo di leggere la nostra lezione su multipli, sottomultipli e divisori di un numero - click!

    Risposta di Galois
 
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