Soluzioni
  • Il volume del cilindro si calcola come V=πr2·h, ossia moltiplicando l'area del cerchio di base per l'altezza del cilindro; l'area del cerchio è infatti data dal prodotto tra la costante Pi Greco e il quadrato del raggio.

    Per determinare il volume di un cilindro si deve quindi svolgere la moltiplicazione tra la costante Pi Greco, il quadrato del raggio del cerchio di base e l'altezza.

     

    Volume cilindro

    Volume cilindro = πr2·h.

    Formule per il volume del cilindro

    Le formule dirette con cui si può calcolare il volume di un cilindro sono quelle elencate qui di seguito, dove abbiamo indicato con V il volume, con S_b l'area di base, con π la costante Pi Greco, con r il raggio di base e con h l'altezza del cilindro.

     

    Tipo di formula

    Formula per il volume del cilindro

    Volume cilindro con area di base e altezza

    V = S_b×h

    Volume cilindro con raggio di base e altezza

    V = π r^2×h

     

    Nel formulario sul cilindro trovate un elenco con tutte le formule e le proprietà di questo solido, comprese le formule inverse del volume.

    Esercizi svolti sul volume del cilindro

    Svolgiamo qualche problema sul calcolo del volume di un cilindro, passando in rassegna le tipologie di esercizi più frequenti e fornendo una spiegazione dettagliata delle soluzioni.

    Calcolo volume cilindro con area di base e altezza

    Se sono note l'area di base e la misura dell'altezza del cilindro, per calcolarne il volume è sufficiente moltiplicare l'area di base per l'altezza.

    V = S_b×h

    Esempio

    L'area di base di un cilindro è di 25 metri quadrati e la sua altezza misura 12,5 metri. Calcolare il volume.

    Svolgimento:

    V = S_b×h = (25 m^3)×(12,5 m) = 312,5 m^3

    Calcolo volume cilindro con raggio e altezza

    L'area del cerchio si calcola moltiplicando la costante Pi Greco per la misura del raggio

    S_b = π r^2

    Sostituendo tale espressione nella formula del volume con area di base e altezza

    V = S_b×h

    si ricava la formula diretta con cui è possibile calcolare il volume di un cilindro con raggio di base e altezza

    V = π r^2×h

    Solitamente, al posto della costante Pi Greco si sostituisce il valore approssimato π ≃ 3,14

    Esempio

    L'altezza di un cilindro misura 13 cm e il raggio del cerchio di base è di 2 cm. Quant'è il volume?

    Svolgimento:

     V = π r^2×h = π×(2 cm)^2×(13 cm) = π×(4 cm^2)×(13 cm) = 52π cm^3 ≃ ; ≃ (52×3,14) cm^3 ≃ 163,28 cm^3

    Calcolo volume cilindro con perimetro di base e altezza

    Invertendo la formula del perimetro del cerchio

    2p = 2 π r

    si può determinare la misura del raggio

    r = (2p)/(2 π)

    per poi calcolare il volume con la relativa formula

    V = π r^2×h

    Esempio

    Calcolare il volume di un cilindro sapendo che la circonferenza di base è lunga 18,84 decimetri e che l'altezza è il triplo del raggio.

    Svolgimento: dalla formula della lunghezza della circonferenza

    2p = 2 π r

    troviamo la misura del raggio

    r = (2p)/(2 π) ≃ (18,84 dm)/(2×3,14) = (18,84 dm)/(6,28) = 3 dm

    Dopodiché determiniamo la misura dell'altezza

    h = 3r = 3×(3 dm) = 9 dm

    e, infine, calcoliamo il volume

     V = π r^2×h = π×(3 dm)^2×(9 dm) = π×(9 dm^2)×(9 dm) = 81π dm^3 ≃ ; ≃ (81×3,14) dm^3 ≃ 254,34 dm^3

    Calcolo volume cilindro con area della superficie laterale

    Per calcolare il volume, oltre all'area della superficie laterale il testo del problema deve fornirci qualche altra informazione, come la misura del raggio o la misura dell'altezza.

    In questo modo, invertendo opportunamente la formula dell'area della superficie laterale

    S_(lat) = 2p×h = 2π r×h → r = (S_(lat))/(2π h) ; h = (S_(lat))/(2π r)

    si può risalire alla misura dell'elemento incognito, e quindi calcolare il volume del cilindro

    V = π r^2×h

    Esempio

    In un cilindro l'area della superficie laterale è di 94,2 centimetri quadrati e l'altezza misura 10 cm. Calcolare il volume.

    Svolgimento: dalla formula dell'area della superficie laterale

    S_(lat) = 2π r×h

    possiamo calcolare la misura del raggio di base

    r = (S_(lat))/(2 π r) ≃ (94,2 cm^2)/(2×3,14×(10 cm)) ≃ ; ≃ (94,2 cm^2)/(62,8 cm) ≃ 1,5 cm

    per poi calcolare il volume del cilindro

     V = π r^2×h = π×(1,5 cm)^2×(10 cm) = π×(2,25 cm^2)×(10 cm) = 22,5 π cm^3 ≃ ; ≃ (22,5×3,14) cm^3 ≃ 70,65 cm^3

    Calcolo volume cilindro con area della superficie totale

    L'area della superficie totale non è un dato sufficiente per poter calcolare il volume. Oltre all'area del cilindro dobbiamo disporre di qualche altro dato utile a risalire alle misure di raggio e altezza, per poi calcolare il volume con l'ormai nota formula

    V = π r^2×h

    Esempio

    Calcolare il volume di un cilindro di cui è noto che l'area della superficie totale è di 25,12 metri quadrati e che il raggio di base misura 1 metro.

    Svolgimento: l'area della superficie totale è la somma dell'area della superficie laterale e del doppio dell'area di base

    S_(tot) = S_(lat)+2S_b

    ossia

    S_(tot) = 2 π r×h+2π r^2

    Calcoliamo la misura dell'altezza invertendo la precedente relazione in favore di h

     h = (S_(tot)-2π r^2)/(2π r) ≃ ; ≃ (25,12 m^2-2×3,14×(1 m^2))/(2×3,14×(1 m)) ≃ ; ≃ (25,12 m^2-6,28 m^2)/(6,28 m) ≃ (18,84 m^2)/(6,28 m) ≃ 3 m

    Abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare il volume

     V = π r^2×h = π×(1 m)^2×(3 m) = π×(1 m^2)×(3 m) = 3π m^3 ≃ ; ≃ (3×3,14) m^3 ≃ 9,42 m^3

    Calcolo volume cilindro equilatero

    Il volume di un cilindro equilatero si calcola moltiplicando il cubo del raggio per 2π

    V = 2π r^3

    oppure dividendo per 4 il prodotto tra Pi Greco e il cubo dell'altezza

    V = (π×h^3)/(4)

    In un cilindro equilatero, infatti, l'altezza è uguale al doppio del raggio

    h = 2r

    o, equivalentemente, il raggio di base è la metà dell'altezza

    r = (h)/(2)

    Sostituendo (una per volta) queste due relazioni nella formula del volume del cilindro

    V = π r^2×h

    si ottengono le due formule dirette appena elencate e riassunte nella seguente tabella

     

    Tipo di formula

    Formula per il volume del cilindro equilatero

    Volume cilindro equilatero con il raggio

    V = 2π r^3

    Volume cilindro equilatero con l'altezza

    V = (π×h^3)/(4)

     

    Esempio

    Calcolare il volume di un cilindro equilatero la cui altezza misura 12 mm.

    Svolgimento:

     V = (π×h^3)/(4) = (π×(12 mm)^3)/(4) ≃ ; ≃ (3,14×(1728 mm^3))/(4) ≃ ; ≃ (5425,92 mm^3)/(4) ≃ 1356,48 mm^3

    ***

    Per concludere vi consigliamo di dare un'occhiata alla scheda di esercizi sul cilindro, dove troverete altri problemi svolti sul volume (e non solo). ;)

    Risposta di Galois
 
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