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  • L'ellissoide è un particolare tipo di quadrica che rappresenta l'analogo tridimensionale dell'ellisse; nello specifico un ellissoide è una superficie chiusa, del secondo ordine, con 3 assi di simmetria ed un centro di simmetria.

     

    Ellissoide

     

    Equazione dell'ellissoide

    L'equazione canonica di un ellissoide in un sistema di coordinate Oxyz dello spazio euclideo è:

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

    dove a, b, c, sono tre numeri reali e positivi che rappresentano la misura dei tre semiassi dell'ellissoide.

     

    Equazione ellissoide

     

    Classificazione degli ellissoidi

    Gli ellissoidi si classificano al variare della misura dei tre semiassi a, b e c. Senza perdere di generalità supponiamo che a\ge b \ge c > 0.

    Se i tre semiassi hanno misure diverse, ossia se

    a>b>c>0 avremo un ellissoide scaleno;

    Se due tra i tre semiassi hanno la stessa misura, l'ellissoide si dice sferoide e, in particolare, si dice

    sferoide prolato se a>b=c

    sferoide oblato se a=b>c

    Infine se tutti i tre i semiassi sono uguali

    a=b=c>0 allora l'ellissoide diventa una sfera.

     

    Classificazione ellissoidi

     

    Ellissoide di rotazione

    Un ellissoide di rotazione è un solido di rotazione così chiamato perché ottenuto da una rotazione di 360° di un ellisse attorno ad uno dei suoi assi.

    Se, come nell'immagine seguente, la rotazione dell'ellisse avviene attorno all'asse maggiore si ottiene un ellissoide allungato, mentre se la rotazione dell'ellisse avviene attorno all'asse minore si ottiene un ellissoide schiacciato.

     

    Ellissoide di rotazione

     

    Come stabilire se una quadrica è un ellissoide

    Un ellissoide reale è una quadrica in cui:

    - la matrice completa A ad esso associata ha determinante maggiore di zero;

    - la matrice B dei termini quadratici ha determinante diverso da zero ed autovalori dello stesso segno.

    Per saperne di più: classificazione delle quadriche - click!

     

    Esempio

    Verifichiamo che la quadrica di equazione

    3x^2+2y^2+2xz+3z^2-4=0

    è un'ellissoide.

    Svolgimento: la matrice completa associata alla quadrica è

    A=\begin{pmatrix}3&0&1&0 \\ 0&2&0&0 \\ 1&0&3&0 \\ 0&0&0&-4 \end{pmatrix}

    il cui determinante è un numero negativo

    \mbox{det}(A)=-64<0

    La matrice B dei termini quadratici associata alla quadrica si ottiene dalla matrice A eliminando l'ultima riga e l'ultima colonna

    B=\begin{pmatrix}3&0&1 \\ 0&2&0 \\ 1&0&3 \end{pmatrix}

    Applicando la regola di Sarrus si verifica subito che il determinante della matrice B è non nullo

    \mbox{det}(B)=16 \neq 0

    Inoltre il polinomio caratteristico associato a tale matrice è

    P(\lambda)=-\lambda^3+8\lambda^2-20\lambda+16

    Per la regola di Cartesio tale polinomio ammette tre radici concordi ossia la matrice dei termini quadratici associata alla conica ha tre autovalori di segno concorde.

    Possiamo così concludere di essere effettivamente di fronte ad un ellissoide.

     

    Volume di un ellissoide

    Il volume di un ellissoide di equazione

    \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

    si ottiene moltiplicando per 4/3 pi greco la misura dei tre semiassi, ossia

    \mbox{Volume ellissoide } = \ \frac{4}{3}\pi a b c

    Risposta di Galois
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