Un trapezoide è una figura piana simile ad un trapezio e, per l'esattezza, si dice trapezoide la parte di piano sottesa dal grafico di una funzione e compresa tra tale curva, l'asse x e due rette perpendicolari a tale asse.
Nella seguente immagine possiamo osservare due esempi di trapezoide:
Due esempi di trapezoide.
Definizione di trapezoide
Ora che dovrebbe essere chiaro il concetto di trapezoide, diamone una definizione rigorosa.
Sia f(x) una funzione continua e non negativa su un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Si dice trapezoide la parte di piano compresa tra il grafico della funzione, l'asse x e le rette x=a e x=b.
La definizione di trapezoide si può tradurre in simboli nel modo seguente:
Area di un trapezoide
L'area di un trapezoide si calcola ricorrendo al calcolo integrale; nello specifico, se il trapezoide di cui dobbiamo calcolare l'area è compreso tra:
- l'asse x,
- il grafico della funzione F(x) non negativa nell'intervallo [a,b],
- le rette verticali x=a ed x=b,
allora l'area del trapezoide coincide con l'integrale definito di f(x) sull'intervallo [a,b]:
Esempio sul calcolo dell'area di un trapezoide
Calcolare l'area del trapezoide compreso tra la curva di equazione
e le rette verticali
Svolgimento: la curva data è una parabola con la concavità rivolta verso il basso; prima di procedere al calcolo dell'area disegniamo il trapezoide.
Il vertice della parabola è il punto
inoltre tale parabola interseca l'asse x nei punti
Tali informazioni sono sufficienti a disegnare la parabola e, di conseguenza, il trapezoide compreso tra la parabola, l'asse x e le due rette verticali x=1 ed x=3.
Esempio: area di un trapezoide.
L'area del trapezoide in figura è data dal seguente integrale definito:
![\mbox{Area trapezoide } = \ \int_{1}^{3} \left[-x^2+4x-2\right] \ dx](/images/joomlatex/c/c/cc08eb985e2192cc0a7b508f4e837d78.gif)
Calcoliamone il valore ricorrendo alle proprietà di additività e linearità dell'integrale e agli integrali fondamentali.
![\begin{align*} \int_{1}^{3}\left[-x^2+4x-2\right] dx & = -\int_{1}^{3} (x^2)dx +4\int_{1}^{3}(x)dx-2\int_{1}^{3}dx = \\ \\ & = -\left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{3}+4\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{3}-2\left[x\right]_{1}^{3}= \\ \\ & = -\frac{26}{3}+16-4=\frac{-26+48-12}{3}= \\ \\ & = \frac{10}{3}\end{align*}](/images/joomlatex/1/e/1e8b2e7cf121f4c137a528e617b5b9a5.gif)
Il trapezoide ha quindi area pari a 10/3.
***
È tutto! Il concetto di trapezoide è alla base della definizione di integrale definito secondo Riemann e del calcolo dell'area con gli integrali. ;)
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