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  • Un trapezoide è una figura piana simile ad un trapezio e, per l'esattezza, si dice trapezoide la parte di piano sottesa dal grafico di una funzione e compresa tra tale curva, l'asse x e due rette perpendicolari a tale asse.

    Nella seguente immagine possiamo osservare due esempi di trapezoide:

     

    Trapezoide

    Due esempi di trapezoide.

     

    Definizione di trapezoide

    Ora che dovrebbe essere chiaro il concetto di trapezoide, diamone una definizione rigorosa.

    Sia f(x) una funzione continua e non negativa su un intervallo chiuso e limitato [a,b]. Si dice trapezoide la parte di piano compresa tra il grafico della funzione, l'asse x e le rette x=a e x=b.

    La definizione di trapezoide si può tradurre in simboli nel modo seguente:

    T:\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \ : \ a\le x\le b, \ 0 \le y \le f(x)\right\}

    Area di un trapezoide

    L'area di un trapezoide si calcola ricorrendo al calcolo integrale; nello specifico, se il trapezoide di cui dobbiamo calcolare l'area è compreso tra:

    - l'asse x,

    - il grafico della funzione F(x) non negativa nell'intervallo [a,b],

    - le rette verticali x=a ed x=b,

    allora l'area del trapezoide coincide con l'integrale definito di f(x) sull'intervallo [a,b]:

    \mbox{Area trapezoide } = \ \int_{a}^{b} f(x) \ dx

    Esempio sul calcolo dell'area di un trapezoide

    Calcolare l'area del trapezoide compreso tra la curva di equazione

    y=-x^2+4x-2

    e le rette verticali

    x=1 \ \mbox{ e } \ x=3

    Svolgimento: la curva data è una parabola con la concavità rivolta verso il basso; prima di procedere al calcolo dell'area disegniamo il trapezoide.

    Il vertice della parabola è il punto

    V(2,2)

    inoltre tale parabola interseca l'asse x nei punti

    \left(2-\sqrt{2}, \ 0\right) \mbox{ e } \left(2+\sqrt{2}, \ 0\right)

    Tali informazioni sono sufficienti a disegnare la parabola e, di conseguenza, il trapezoide compreso tra la parabola, l'asse x e le due rette verticali x=1 ed x=3.

     

    Area trapezoide

    Esempio: area di un trapezoide.

     

    L'area del trapezoide in figura è data dal seguente integrale definito:

    \mbox{Area trapezoide } = \ \int_{1}^{3} \left[-x^2+4x-2\right] \ dx

    Calcoliamone il valore ricorrendo alle proprietà di additività e linearità dell'integrale e agli integrali fondamentali.

    \begin{align*} \int_{1}^{3}\left[-x^2+4x-2\right] dx & = -\int_{1}^{3} (x^2)dx +4\int_{1}^{3}(x)dx-2\int_{1}^{3}dx = \\ \\ & = -\left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{3}+4\left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{3}-2\left[x\right]_{1}^{3}= \\ \\ & = -\frac{26}{3}+16-4=\frac{-26+48-12}{3}= \\ \\ & = \frac{10}{3}\end{align*}

    Il trapezoide ha quindi area pari a 10/3.

    ***

    È tutto! Il concetto di trapezoide è alla base della definizione di integrale definito secondo Riemann e del calcolo dell'area con gli integrali. ;)

    Risposta di Galois
 
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