Soluzioni
  • Un segmento parabolico è la parte finita di piano delimitata da una parabola e da una retta che interseca la parabola in due punti distinti; se la retta è perpendicolare all'asse della parabola il segmento parabolico si dice retto.

    Quello riportato nell'immagine seguente è un segmento parabolico:

     

    Segmento parabolico

     

    Mentre quello che segue è un segmento parabolico retto, infatti la retta secante la parabola ed il suo asse formano un angolo retto.

     

    Segmento parabolico retto

     

    Area di un segmento parabolico

    Sia

    y=ax^2+bx+c

    l'equazione di una parabola e siano

    A(x_A, y_A) \ \mbox{ e } \ B(x_B,y_B), \mbox{ con } x_A < x_B

    i due punti di intersezione tra la parabola e la retta che con essa forma un segmento parabolico.

     

    Area segmento parabolico

     

    L'area del segmento parabolico si può calcolare ricorrendo alla seguente formula:

    \mbox{Area segmento parabolico }= \ \frac{1}{6}\cdot |a| \cdot (x_B-x_A)^3

    dove a è il coefficiente del termine quadratico della parabola ed xA e xB sono le ascisse dei punti di intersezione tra retta e parabola.

     

    Teorema di Archimede

    Per calcolare l'area di un segmento parabolico si può ricorrere al teorema di Archimede il quale afferma che l'area di un segmento parabolico equivale a 2/3 dell'area del rettangolo ad esso circoscritto. Ossia, in riferimento alla figura seguente:

     

     Teorema di Archimede

     

    \mbox{Area segmento parabolico } = \ \frac{2}{3} \cdot \mbox{A}_{ABB'A'}

     

    Per ottenere il rettangolo circoscritto alla parabola occorre:

    - tracciare la retta s parallela alla retta r e tangente alla parabola;

    - costruire gli altri due lati perpendicolari ad entrambe le rette ed aventi come estremi i punti A e B.

     

    Area di un segmento parabolico con gli integrali

    Chi ha già studiato gli integrali saprà che esiste un metodo che permette il calcolo dell'area con gli integrali.

    Nello specifico, se f(x) e g(x) sono due curve tali che nell'intervallo [a,b] il grafico della funzione di f è al di sopra del grafico di g, allora

    \mbox{Area tra } f \mbox{ e } g \ = \ \int_{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]dx, \mbox{ se } f(x) \ge g(x) \ \forall x \in [a,b]

    Per calcolare l'area del segmento parabolico ricorrendo alla formula precedente è sufficiente sostituire:

    - gli stremi di integrazione a e b con le ascisse dei punti di intersezione tra retta e parabola, dove xA<xB;

    - al posto di f(x) l'equazione della parabola ed al posto di g(x) l'equazione della retta se nell'intervallo [xA,xB] la parabola è al di sopra della retta;

    - al posto di f(x) l'equazione della retta ed al posto di g(x) l'equazione della parabola se nell'intervallo [xA,xB] la retta è al di sopra della parabola.

     

    Esempio sul calcolo dell'area di un segmento parabolico

    Calcolare l'area del segmento parabolico individuato dalla parabola di equazione

    y=-x^2-2x+3

    e dalla retta

    r: \ y+5=0

    Svolgimento: troviamo l'area del segmento parabolico applicando ciascuno dei tre metodi visti poc'anzi.

    Troviamo i punti di intersezione tra retta e parabola mettendo a sistema le due equazioni

    \\ \begin{cases} y+5=0 \\ y=-x^2-2x+3\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases} y=-5 \\ -5=-x^2-2x+3 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}y=-5 \\ x^2+2x-8=0 \end{cases}

    La seconda è un'equazione di secondo grado che ha come soluzioni

    x_1=-4 \ \mbox{ e } \ x_2=2

    Pertanto le coordinate cartesiane dei punti di intersezione tra retta e parabola sono

    A(-4,-5) \mbox{ e } B(2,-5)

     

    1) Applicando la formula sul calcolo dell'area di un segmento parabolico troviamo subito che

    \begin{align*}\mbox{Area segmento parabolico } & = \ \frac{1}{6} \cdot a \cdot (x_B-x_A)^3 = \\ \\ & = \ \frac{1}{6}\cdot |-1| \cdot [2-(-4)]^3 = \\ \\ & = \ \frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 6^3 = 6^2 = 36\end{align*}

     

    2) Ricorriamo ora al teorema di Archimede, ma prima di farlo aiutiamoci con una rappresentazione grafica.

     

    Esempio area segmento parabolico

     

    La retta s parallela alla retta r e tangente alla parabola è

    s: \ y-4=0

    Inoltre la retta q passante per il punto A e perpendicolare sia alla retta r che alla retta s ha equazione

    q: \ x+4=0

    Pertanto il punto A' di intersezione tra la retta s e la retta q ha coordinate

    A'(-4,-5)

    Applicando la formula per la distanza tra due punti possiamo ora trovare la misura delle dimensioni del rettangolo circoscritto:

    \\ \overline{AB}=6 \\ \\ \overline{AA'}=9

    L'area del segmento parabolico è pari a 2/3 dell'area del rettangolo, quindi

    \begin{align*}\mbox{Area segmento parabolico } & = \ \frac{2}{3} \cdot \mbox{A}_{ABB'A'} = \\ \\ & = \ \frac{2}{3} \cdot \left[ \ \overline{AB} \cdot \overline{AA'} \ \right] = \\ \\ & = \ \frac{2}{3} \cdot (6 \cdot 9) = \\ \\ & = \ \frac{2}{3} \cdot 54 = 36 \end{align*}

     

    3) Calcoliamo ora l'area dello stesso segmento parabolico ricorrendo al calcolo integrale

    Poiché nella regione di piano compresa tra i punti A e B il grafico della parabola è al di sopra del grafico della retta abbiamo che

    \begin{align*}\mbox{Area segmento parabolico } & = \ \int_{-4}^{2} \left[-x^2-2x+3-(-5)\right] dx = \\ \\ & = \ \int_{-4}^{2}\left[-x^2-2x+8\right] dx \end{align*}

    Applicando le proprietà di linearità e additività dell'integrale di Riemann e ricordando gli integrali notevoli risolviamo il precedente integrale:

    \begin{align*} \int_{-4}^{2}\left[-x^2-2x+8\right] dx & = -\int_{-4}^{2} (x^2)dx -2\int_{-4}^{2}(x)dx+8\int_{-4}^{2}dx = \\ \\ & = -\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-4}^{2}-2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-4}^{2}+8\left[x\right]_{-4}^{2}= \\ \\ & = -24+12+48=36\end{align*}

     

    In tutti e tre i casi, come c'era da aspettarsi, abbiamo ottenuto lo stesso risultato. :)

    Risposta di Galois
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