Media armonica

Autore: Fulvio Sbranchella (Omega) -
Ultimo aggiornamento:

Cos'è la media armonica di due o più numeri? Mi servirebbe la definizione e la formula della media armonica, capire a cosa serve e quando si usa, e vedere degli esempi di calcolo della media armonica.

Soluzione

La media armonica di un insieme di numeri è un indicatore statistico che fornisce un particolare tipo di media, ed è per definizione il rapporto tra il numero di valori considerati e la somma tra i reciproci dei valori numerici.

La definizione di media armonica può sembrare piuttosto astratta e complicata, per cui può risultare ben più conveniente fare riferimento alla formula di calcolo.

Formula per calcolare la media armonica

Dati n numeri

x_1, x_2, ..., x_n

possiamo scrivere la formula di calcolo della media armonica a partire direttamente dalla definizione. Essa è data da

Media armonica = (n)/((1)/(x_1)+(1)/(x_2)+...+(1)/(x_n))

A denominatore abbiamo la somma dei reciproci dei valori numerici considerati, per cui possiamo utilizzare il simbolo di sommatoria per riscrivere la formula in una forma più sintetica

Media armonica = (n)/(Σ_(i = 1)^(n)(1)/(x_i))

Esempi di calcolo della media armonica

Vediamo un esempio svolto. Consideriamo i numeri 3, 5, 12 e supponiamo di volerne calcolare la media armonica.

Per cominciare conviene calcolare la somma dei reciproci presenti a denominatore

(1)/(3)+(1)/(5)+(1)/(12)

Il minimo comune denominatore è 60, per cui

(1)/(3)+(1)/(5)+(1)/(12) = (20+12+5)/(60) = (37)/(60)

Ora non ci resta che determinare la media armonica scrivendo l'intero rapporto, con n = 3. In questo frangente può risultare molto utile la regola per la frazione di frazione

(3)/((37)/(60)) = 3·(60)/(37) = (180)/(37) ≃ 4,86486

dove il risultato è un numero periodico.

A cosa serve la media armonica e quando si usa

A differenza dei tipi di media, come ad esempio la media aritmetica e la media ponderata, la media armonica è un indicatore statistico che non viene comunemente utilizzato negli studi scolastici.

Esattamente come nel caso della media geometrica e della media quadratica, è un concetto che viene affrontato solamente in determinati ambiti di studio, come Statistica, Finanza e le facoltà di tipo scientifico.

Ciononostante la media armonica ha tantissimi riscontri in Geometria, in Fisica e nei succitati ambiti scientifici e finanziari.

A titolo di esempio ci limitiamo all'ambito geometrico: in un triangolo qualsiasi il raggio del cerchio inscritto è pari a 1/3 della media armonica delle misure delle altezze.

Relazione tra media armonica e media aritmetica

Da ultimo vale la pena di osservare che la media armonica è il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori considerati, infatti

Media armonica(x_1, x_2, ..., x_n) = (n)/((1)/(x_1)+(1)/(x_2)+...+(1)/(x_n)) = (((1)/(x_1)+(1)/(x_2)+...+(1)/(x_n))/(n))^(−1) = (Media aritmetica((1)/(x_1), (1)/(x_2), ..., (1)/(x_n)))^(−1)

Domande della categoria Wiki - Algebra
Esercizi simili e domande correlate