Soluzioni
  • La media armonica di un insieme di numeri è un indicatore statistico che fornisce un particolare tipo di media, ed è per definizione il rapporto tra il numero di valori considerati e la somma tra i reciproci dei valori numerici.

    La definizione di media armonica può sembrare piuttosto astratta e complicata, per cui può risultare ben più conveniente fare riferimento alla formula di calcolo.

     

    Formula per calcolare la media armonica

    Dati n numeri

    x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n

    possiamo scrivere la formula di calcolo della media armonica a partire direttamente dalla definizione. Essa è data da

    \mbox{Media armonica}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}

    A denominatore abbiamo la somma dei reciproci dei valori numerici considerati, per cui possiamo utilizzare il simbolo di sommatoria per riscrivere la formula in una forma più sintetica

    \mbox{Media armonica}=\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}

     

    Esempi di calcolo della media armonica

    Vediamo un esempio svolto. Consideriamo i numeri 3, 5, 12 e supponiamo di volerne calcolare la media armonica.

    Per cominciare conviene calcolare la somma dei reciproci presenti a denominatore

    \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{12}

    Il minimo comune denominatore è 60, per cui

    \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{12}=\frac{20+12+5}{60}=\frac{37}{60}

    Ora non ci resta che determinare la media armonica scrivendo l'intero rapporto, con n=3. In questo frangente può risultare molto utile la regola per la frazione di frazione

    \frac{3}{\frac{37}{60}}=3\cdot\frac{60}{37}=\frac{180}{37}\simeq 4,86\overline{486}

    dove il risultato è un numero periodico.

     

    A cosa serve la media armonica e quando si usa

    A differenza dei tipi di media, come ad esempio la media aritmetica e la media ponderata, la media armonica è un indicatore statistico che non viene comunemente utilizzato negli studi scolastici.

    Esattamente come nel caso della media geometrica e della media quadratica, è un concetto che viene affrontato solamente in determinati ambiti di studio, come Statistica, Finanza e le facoltà di tipo scientifico.

    Ciononostante la media armonica ha tantissimi riscontri in Geometria, in Fisica e nei succitati ambiti scientifici e finanziari.

    A titolo di esempio ci limitiamo all'ambito geometrico: in un triangolo qualsiasi il raggio del cerchio inscritto è pari a 1/3 della media armonica delle misure delle altezze.

     

    Relazione tra media armonica e media aritmetica

    Da ultimo vale la pena di osservare che la media armonica è il reciproco della media aritmetica dei reciproci dei valori considerati, infatti

    \\ \mbox{Media armonica}(x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}=\\ \\ \\= \left(\frac{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}}{n}\right)^{-1}=\left(\mbox{Media aritmetica}\left(\frac{1}{x_1},\ \frac{1}{x_2},\ ...,\ \frac{1}{x_n}\right)\right)^{-1}

    Risposta di Omega
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