Soluzioni
  • sen(x)+cos(x)=0 è un'equazione lineare in seno e coseno, nonché un'equazione omogenea che nell'intervallo (0,2\pi) ha come soluzioni

    x=\frac{3}{4}\pi+k\pi\ \ \ ;\ \ \ x=\frac{7}{4}\pi+k\pi

    con k che varia nell'insieme dei numeri reali.

    Per risolvere sen(x)+cos(x)=0 possiamo procedere in tre modi distinti che qui di seguito spiegheremo nel dettaglio.

     

    sen(x)+cos(x)=0 con le formule parametriche

    Prima di procedere con le formule parametriche e quindi scrivere seno e coseno di x in funzione della tangente di x/2 dobbiamo verificare se x=π oppure x=-π soddisfano l'equazione sen(x)+cos(x)=0.

    Per x=π:

    \sin(\pi)+\cos(\pi)=0+(-1)=-1 \neq 0

    Per x=-π:

    \sin(-\pi)+\cos(-\pi)=0+(-1)=-1 \neq 0

    Possiamo ora ricorrere alle formule parametriche:

    \begin{matrix} \sin(x)=\frac{2t}{1+t^2} \\ \\ \cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{matrix} \ \ \ \ \ \mbox{ con } t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

    L'equazione sen(x)+cos(x)=0 diventa

    \frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=0

    che possiamo riscrivere come

    \frac{2t+1-t^2}{1+t^2}=0

    Ci siamo così ricondotti ad un'equazione fratta di secondo grado nella variabile t. Il denominatore è una somma di quadrati avente uno dei due termini uguale ad 1 e, come tale, è una quantità strettamente maggiore di zero; possiamo allora sbarazzarcene senza problemi e vedere quali sono i valori di t che annullano il numeratore.

    2t+1-t^2=0 \iff t^2-2t-1=0

    Applicando il metodo risolutivo per le equazioni di secondo grado troviamo le due soluzioni

    t=1-\sqrt{2} \ \mbox{ e } \ t=1+\sqrt{2}

    Ricordando che t=tan(x/2) dobbiamo imporre che sia

    \tan\left(\frac{x}{2}\right)=1-\sqrt{2} \ \mbox{ e } \ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=1+\sqrt{2}

    Siamo ora di fronte a due equazioni goniometriche elementari; ricordando i valori notevoli delle funzioni trigonometriche abbiamo

    \\ \frac{x}{2}=\frac{7}{8}\pi+k\pi \iff x=\frac{7}{4}\pi+2k\pi, k \in \mathbb{Z} \\ \\ \\ \frac{x}{2}=\frac{3}{8}\pi+k\pi \iff x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

    Possiamo così concludere che le soluzioni dell'equazione sen(x)+cos(x)=0 sono

    x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \mbox{ e } \ x=\frac{7}{4}\pi+2k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z}

     

    sen(x)+cos(x)=0 col metodo del passaggio a sistema

    Un'altra strategia risolutiva per l'equazione sen(x)+cos(x)=0 consiste nel porre

    \cos(x)=X \  \mbox{ e } \ \sin(x)=Y

    ed associare all'equazione di partenza il sistema

    \begin{cases} X+Y=0 \\ X^2+Y^2=1 \end{cases}

    dove la seconda equazione deriva direttamente dalla relazione fondamentale della trigonometria, infatti

    X^2+Y^2=\cos^2(x)+\sin^2(x)=1.

    Risolviamo il sistema per sostituzione; dalla prima equazione ricaviamo il valore di X in funzione di Y che sostituiremo della seconda equazione:

    \\ \begin{cases} X=-Y \\ (-Y)^2+Y^2=1 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}X=-Y \\ Y^2=\frac{1}{2}\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}X=-Y \\ Y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

    Dopo aver razionalizzato, otterremo le due coppie di soluzioni

    \\ \begin{cases} X=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ Y=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}X=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ Y=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

    Ossia, ritornando a seno e coseno:

    \\ \begin{cases} \cos(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}\cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

    Il primo sistema ha per soluzione

    x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi, k \in \mathbb{Z}

    mentre il secondo sistema è soddisfatto per

    x=\frac{7}{4}\pi+2k\pi, k \in \mathbb{Z}

    e tali valori sono proprio le soluzioni dell'equazione sen(x)+cos(x)=0.

     

    sen(x)+cos(x)=0 con l'angolo ausiliario

    Il metodo dell'angolo ausiliario permette di passare dall'equazione sen(x)+cos(x)=0 ad un'equazione elementare col solo seno. Per far ciò bisogna trovare quell'angolo α tale che

    \begin{cases}\sin(\alpha)=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \cos(\alpha)=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}

    per poi risolvere l'equazione elementare

    \sin(x+\alpha)=0

    dove 0 è il termine noto dell'equazione di partenza, mentre nel primo sistema a indica il coefficiente del seno e b il coefficiente del coseno che nell'equazione sen(x)+cos(x)=0 sono entrambi uguali ad 1. Avremo quindi

    \begin{cases}\sin(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

    Nell'intervallo [0,2π) sia il seno che il coseno di α valgono 1/√2 per α=π/4.

    Per le formule di addizione del seno, trovare i valori di x per cui sen(x)+cos(x)=0 equivale a risolvere l'equazione elementare

    \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0

    che è soddisfatta per

    x+\frac{\pi}{4}=0+2k\pi \iff x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi \iff x=\frac{7}{4}\pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}

    e per

    x+\frac{\pi}{4}=\pi+2k\pi \iff x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi \iff x=\frac{3}{4}\pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}

     

    Come ci aspettavamo, qualsiasi sia il metodo scelto per risolvere l'equazione sen(x)+cos(x)=0 si ricade sempre nelle stesse soluzioni. ;)

    Per un ripasso sui metodi risolutivi delle equazioni lineari in seno e coseno - click!

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Algebra e Aritmetica