Soluzioni
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    sen(x)+cos(x)=0 è un'equazione lineare in seno e coseno, nonché un'equazione omogenea che ha come soluzioni

    x=\frac{3}{4}\pi+k\pi \ \ \ ; \ \ \ x=\frac{7}{4}\pi+k\pi

    con k che varia nell'insieme dei numeri interi.

    Per risolvere sen(x)+cos(x)=0 possiamo procedere in tre modi distinti che qui di seguito spiegheremo nel dettaglio.

     

    sen(x)+cos(x)=0 con le formule parametriche

    Prima di procedere con le formule parametriche e quindi scrivere seno e coseno di x in funzione della tangente di \frac{x}{2} dobbiamo verificare se x=\pi oppure x=-\pi soddisfano l'equazione \sin(x)+\cos(x)=0.

    Per x=\pi:

    \sin(\pi)+\cos(\pi)=0+(-1)=-1\ne 0

    Per x=-\pi:

    \sin(-\pi)+\cos(-\pi)=0+(-1)=-1\ne 0

    Possiamo ora ricorrere alle formule parametriche:

    \begin{matrix} \sin(x)=\dfrac{2t}{1+t^2} \\ \\ \cos(x)=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\end{matrix} \ \ \ \mbox{con}\ t=\tan\left(\frac{x}{2}\right)

    L'equazione sen(x)+cos(x)=0 diventa

    \frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}=0

    che possiamo riscrivere come

    \frac{2t+1-t^2}{1+t^2}=0

    Ci siamo così ricondotti ad un'equazione fratta di secondo grado nella variabile t. Il denominatore è una somma di quadrati avente uno dei due termini uguale ad 1 e, come tale, è una quantità strettamente maggiore di zero; possiamo allora sbarazzarcene senza problemi e vedere quali sono i valori di t che annullano il numeratore.

    2t+1-t^2=0 \ \ \ \to \ \ \ t^2-2t-1=0

    Applicando il metodo risolutivo per le equazioni di secondo grado troviamo le due soluzioni

    t=1-\sqrt{2} \ \mbox{ e } \ t=1+\sqrt{2}

    Ricordando che t=\tan\left(\frac{x}{2}\right) dobbiamo imporre che sia

    \tan\left(\frac{x}{2}\right)=1-\sqrt{2} \ \mbox{ e } \ \tan\left(\frac{x}{2}\right)=1+\sqrt{2}

    Siamo ora di fronte a due equazioni goniometriche elementari; ricordando i valori notevoli delle funzioni trigonometriche abbiamo

    \\ \frac{x}{2}=\frac{7}{8}\pi+k\pi \ \ \ \to \ \ \  x=\frac{7}{4}\pi+2k\pi \\ \\ \\ \frac{x}{2}=\frac{3}{8}\pi+k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi

    al variare di k\in\mathbb{Z}.

    Possiamo così concludere che le soluzioni dell'equazione sen(x)+cos(x)=0 sono

    x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi \ \mbox{ e } \ x=\frac{7}{4}\pi+2k\pi, \mbox{ con } k \in \mathbb{Z}

     

    sen(x)+cos(x)=0 col metodo del passaggio a sistema

    Un'altra strategia risolutiva per l'equazione sen(x)+cos(x)=0 consiste nel porre

    \cos(x)=X \ \mbox{ e } \ \sin(x)=Y

    ed associare all'equazione di partenza il sistema

    \begin{cases} X+Y=0 \\ \\ X^2+Y^2=1 \end{cases}

    dove la seconda equazione deriva direttamente dalla relazione fondamentale della trigonometria, infatti

    X^2+Y^2=\cos^2(x)+\sin^2(x)=1.

    Risolviamo il sistema per sostituzione; dalla prima equazione ricaviamo il valore di X in funzione di Y che sostituiremo della seconda equazione:

    \\ \begin{cases} X=-Y \\ \\ (-Y)^2+Y^2=1 \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}X=-Y \\ \\ Y^2=\frac{1}{2}\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}X=-Y \\ \\ Y=\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

    Dopo aver razionalizzato, otterremo le due coppie di soluzioni

    \\ \begin{cases} X=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ Y=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}X=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ Y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

    Ossia, ritornando a seno e coseno:

    \\ \begin{cases} \cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ \sin(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}\cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ \sin(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}

    Il primo sistema ha per soluzione

    x=\frac{3}{4}\pi+2k\pi,\ \ \ \mbox{con}\  k \in \mathbb{Z}

    mentre il secondo sistema è soddisfatto per

    x=\frac{7}{4}\pi+2k\pi,\ \ \ \mbox{con}\ k \in \mathbb{Z}

    e tali valori sono proprio le soluzioni dell'equazione sen(x)+cos(x)=0.

     

    sen(x)+cos(x)=0 con l'angolo ausiliario

    Il metodo dell'angolo ausiliario permette di passare dall'equazione sen(x)+cos(x)=0 ad un'equazione elementare col solo seno. Per far ciò bisogna trovare quell'angolo \alpha tale che

    \begin{cases}\sin(\alpha)=\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \\ \cos(\alpha)=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{cases}

    per poi risolvere l'equazione elementare

    \sin(x+\alpha)=0

    dove 0 è il termine noto dell'equazione di partenza, mentre nel primo sistema a indica il coefficiente del seno e b il coefficiente del coseno che nell'equazione sen(x)+cos(x)=0 sono entrambi uguali ad 1. Avremo quindi

    \begin{cases}\sin(\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{1+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \cos(\alpha)=\dfrac{1}{\sqrt{1+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}

    Nell'intervallo [0,2\pi) sia il seno che il coseno di \alpha valgono \frac{1}{\sqrt{2}} per \alpha=\frac{\pi}{4}.

    Per le formule di addizione del seno, trovare i valori di x per cui sen(x)+cos(x)=0 equivale a risolvere l'equazione elementare

    \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0

    che è soddisfatta per

    \\ x+\frac{\pi}{4}=0+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{7}{4}\pi + 2k\pi, \\ \\ \\ \mbox{con}\ k \in \mathbb{Z}\ \mbox{e per}\ \\ \\ \\ x+\frac{\pi}{4}=\pi+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\pi-\frac{\pi}{4}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{3}{4}\pi + 2k\pi

    al variare di k\in\mathbb{Z}.

    Come ci aspettavamo, qualsiasi sia il metodo scelto per risolvere l'equazione sen(x)+cos(x)=0 si ricade sempre nelle stesse soluzioni. ;)

    Per un ripasso sui metodi risolutivi delle equazioni lineari in seno e coseno - click!

    Risposta di Galois
 
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