Soluzioni
  • (x+1)^3 e (x-1)^3 sono due prodotti notevoli che rappresentano il cubo di due binomi: (x+1)^3 è il cubo del binomio (x+1) mentre (x-1)^3 è il cubo del binomio (x-1). Nello specifico:

    \\ (x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1 \\ \\ (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1

    Come possiamo notare entrambi gli sviluppi sono polinomi formati dagli stessi monomi e differiscono solo per il segno di due termini.

    Inoltre si osserva immediatamente che lo sviluppo di (x+1)3 e (x-1)3 sono due polinomi completi ed ordinati secondo le potenze decrescenti di x.

     

    Sviluppo del cubo di binomio (x+1)3

    (x+1)^3 è, come anticipato, un cubo di binomio, ossia un polinomio della forma (a+b)3 con a=x e b=1.

    Per scriverne lo sviluppo ricorriamo alla formula generale sul cubo di un binomio:

    (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

    e sostituiamo a con x e b con 1.

    (x+1)^3=x^3+3x^2\cdot 1 + 3x\cdot 1^2 + 1^3 = x^3+3x^2+3x+1

    Per verificare che lo sviluppo ottenuto è corretto è sufficiente svolgere il seguente prodotto tra polinomi:

    \begin{align*}(x+1)(x+1)(x+1)&=(x+1)(x^2+x+x+1)= \\ \\ & = (x+1)(x^2+2x+1)= \\ \\ & = x^3+2x^2+x+x^2+2x+1= \\ \\ & = x^3+3x^2+3x+1 \end{align*}

    Infatti, in accordo con la definizione di potenza, moltiplicare tre volte una quantità per se stessa equivale ad elevarla al cubo. ;)

     

    Sviluppo del cubo di binomio (x-1)3

    (x-1)^3 è il cubo di un binomio con segno meno, la cui formula generale è la seguente:

    (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3

    Per sviluppare (x-1)3 è sufficiente sostituire, nella formula precedente, a con x e b con 1.

    (x-1)^3=x^3-3x^2\cdot 1 + 3x\cdot 1^2 - 1^3 = x^3-3x^2+3x-1

    Verifichiamo che quanto ottenuto è corretto svolgendo il seguente prodotto:

    \begin{align*}(x-1)(x-1)(x-1)&=(x-1)(x^2-x-x+1)= \\ \\ & = (x-1)(x^2-2x+1)= \\ \\ & = x^3-2x^2+x-x^2+2x-1= \\ \\ & = x^3-3x^2+3x-1 \end{align*}

     

    Per un ripasso sui prodotti notevoli - click!

    Risposta di Galois
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