Soluzioni
  • (x+1)^3 e (x-1)^3 sono due cubi di binomio: (x+1)^3 è il cubo del binomio (x+1) e si sviluppa come (x+1)3=x3+3x2+3x+1; (x-1)^3 è il cubo del binomio (x-1) e si sviluppa come (x-1)3=x3-3x2+3x-1.

     \\ (x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1 \\ \\ (x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1

    In generale il cubo del binomio (A+B), con A,B monomi qualsiasi, è un quadrinomio formato dal cubo del primo monomio, più il triplo prodotto del primo monomio al quadrato per il secondo monomio, più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo monomio:

    (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3

    Purtroppo capita spesso di commettere errori di segno, soprattutto quando almeno uno dei monomi A,B è preceduto dal segno meno.

    Per non sbagliare basta considerare i monomi che compongono il binomio di partenza con i segni da cui sono preceduti, e quindi calcolare:

    • il cubo del primo termine;

    • il triplo prodotto del primo termine al quadrato per il secondo termine;

    • il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine;

    • il cubo del secondo termine.

    La loro somma è lo sviluppo del cubo di binomio considerato.

    Usiamo questo metodo per calcolare gli sviluppi di (x+1)^3 e di (x-1)^3.

    Sviluppo del cubo di binomio (x+1)^3

    Consideriamo i monomi +x e +1.

    - Il cubo del primo monomio è x^3

    (+x)^3 = x^3

    - Il triplo prodotto tra il quadrato del primo monomio e il secondo monomio è 3x^2

    3 \cdot (+x)^2 \cdot (+1) = 3 \cdot x^2 \cdot 1 = 3x^2

    - Il triplo prodotto tra il primo monomio e il quadrato del secondo è 3x

    3 \cdot (+x) \cdot (+1)^2 = 3 \cdot x \cdot 1 = 3x

    - Il cubo del secondo monomio è 1

    (+1)^3 = 1

    La loro somma è lo sviluppo di (x+1)^3:

    (x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1

    Sviluppo del cubo di binomio (x-1)^3

    Questa volta partiamo dai monomi +x e -1.

    - Il cubo del primo monomio è x^3

    (+x)^3 = x^3

    - Il triplo prodotto tra il quadrato del primo monomio e il secondo è -3x^2

    3 \cdot (+x)^2 \cdot (-1) = 3 \cdot x^2 \cdot (-1) = -3x^2

    - Il triplo prodotto tra il primo monomio e il quadrato del secondo è 3x

    3 \cdot (+x) \cdot (-1)^2 = 3 \cdot x \cdot 1 = 3x

    - Il cubo del secondo monomio è -1

    (-1)^3 = -1

    La loro somma è lo sviluppo di (x-1)^3

    (x-1)^3=x^3+(-3x^2)+3x+(-1)=

    e per la regola dei segni:

    =x^3-3x^2+3x-1

    In definitiva:

    (x-1)^2=x^3-3x^2+3x-1

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, se non lasciarti il link di rimando alla lezione di riepilogo sui prodotti notevoli - click!

    Risposta di Galois
 
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