Polinomio omogeneo

Un polinomio omogeneo è un polinomio in cui tutti i termini hanno lo stesso grado, ossia un polinomio si dice omogeneo se tutti i monomi che lo compongono hanno il medesimo grado.

Dalla definizione di polinomio omogeneo risulta evidente che, per stabilire se un polinomio è omogeneo, è sufficiente trovare il grado dei monomi che formano il polinomio, indipendentemente dalle lettere che compaiono la parte letterale e:

- se tali monomi hanno tutti lo stesso grado, allora il polinomio è omogeneo;

- se vi sono anche solo due monomi di grado diverso, allora il polinomio non è omogeneo.

Grado di un polinomio omogeneo

Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi che costituiscono il polinomio; se un polinomio è omogeneo allora, come detto poc'anzi, tutti i monomi hanno lo stesso grado.

Risulta così evidente che il grado di un polinomio omogeneo coincide col grado di uno qualsiasi dei monomi che lo formano.

Esempi di polinomi omogenei

è un polinomio omogeneo di terzo grado, infatti tutti i monomi presenti nel polinomio sono monomi di terzo grado.

è un polinomio omogeneo di primo grado; per arrivare a tale conclusione è sufficiente osservare che il grado di tutti i monomi presenti nel polinomio è pari ad 1.

è un polinomio di quarto grado omogeneo; osserviamo infatti che tutti i monomi che costituiscono il polinomio sono monomi di quarto grado.

è un polinomio omogeneo di quinto grado e si arriva a tale conclusione osservando che tutti i monomi ivi presenti hanno grado 5.

Esempi di polinomi non omogenei

non è un polinomio omogeneo. Infatti il monomio ha grado 1 mentre i restanti monomi hanno grado 2.

non è un polinomio omogeneo in quanto è presente il termine noto 6, ossia un monomio non nullo di grado zero.

non è un polinomio omogeneo perché tutti i suoi termini hanno grado diverso.

Come scrivere un polinomio omogeneo con variabili assegnate

Dopo aver introdotto il concetto di polinomio omogeneo, uno tra i più classici esercizi sui polinomi è quello di assegnare una o più variabili per poi richiedere di scrivere un polinomio omogeneo di grado già stabilito.

Per far ciò è sufficiente scrivere una somma o differenza di monomi tutti dello stesso grado e che dipendono da quelle variabili.

Esempio

Scrivere un polinomio omogeneo di quinto grado nelle variabili e .

Svolgimento: per esaudire la richiesta dell'esercizio è sufficiente scrivere una somma algebrica di monomi la cui parte letterale è formata dalle lettere e e che siano tutti di quinto grado. Ovviamente esistono infiniti polinomi che esaudiscono la richiesta dell'esercizio; qui di seguito ne riportiamo tre:

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