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  • Un polinomio omogeneo è un polinomio in cui tutti i termini hanno lo stesso grado, ossia un polinomio si dice omogeneo se tutti i monomi che lo compongono hanno il medesimo grado.

    Dalla definizione di polinomio omogeneo risulta evidente che, per stabilire se un polinomio è omogeneo, è sufficiente trovare il grado dei monomi che formano il polinomio, indipendentemente dalle lettere che compaiono la parte letterale e:

    - se tali monomi hanno tutti lo stesso grado, allora il polinomio è omogeneo;

    - se vi sono anche solo due monomi di grado diverso, allora il polinomio non è omogeneo.

    Grado di un polinomio omogeneo

    Il grado di un polinomio è il massimo grado dei monomi che costituiscono il polinomio; se un polinomio è omogeneo allora, come detto poc'anzi, tutti i monomi hanno lo stesso grado.

    Risulta così evidente che il grado di un polinomio omogeneo coincide col grado di uno qualsiasi dei monomi che lo formano.

    Esempi di polinomi omogenei

    3xy^2+4x^3-\frac{2}{3}x^2y+7y^3

    è un polinomio omogeneo di terzo grado, infatti tutti i monomi presenti nel polinomio sono monomi di terzo grado.

    2a+3b-4c

    è un polinomio omogeneo di primo grado; per arrivare a tale conclusione è sufficiente osservare che il grado di tutti i monomi presenti nel polinomio è pari ad 1.

    7t^2z^2-9tz^3+\frac{1}{8}z^4-t^3z

    è un polinomio di quarto grado omogeneo; osserviamo infatti che tutti i monomi che costituiscono il polinomio sono monomi di quarto grado.

    12x^5-\frac{3}{7}y^5+8x^3y^2-54xy^4

    è un polinomio omogeneo di quinto grado e si arriva a tale conclusione osservando che tutti i monomi ivi presenti hanno grado 5.

    Esempi di polinomi non omogenei

    2x+36x^2-12xy+9y^2

    non è un polinomio omogeneo. Infatti il monomio 2x ha grado 1 mentre i restanti monomi hanno grado 2.

    \frac{3}{4}x^3y^5+25x^8-8x^4y^4-9xyz^3+6

    non è un polinomio omogeneo in quanto è presente il termine noto 6, ossia un monomio non nullo di grado zero.

    2x^2-7y+4x^3z-12

    non è un polinomio omogeneo perché tutti i suoi termini hanno grado diverso.

    Come scrivere un polinomio omogeneo con variabili assegnate

    Dopo aver introdotto il concetto di polinomio omogeneo, uno tra i più classici esercizi sui polinomi è quello di assegnare una o più variabili per poi richiedere di scrivere un polinomio omogeneo di grado già stabilito.

    Per far ciò è sufficiente scrivere una somma o differenza di monomi tutti dello stesso grado e che dipendono da quelle variabili.

    Esempio

    Scrivere un polinomio omogeneo di quinto grado nelle variabili a e b.

    Svolgimento: per esaudire la richiesta dell'esercizio è sufficiente scrivere una somma algebrica di monomi la cui parte letterale è formata dalle lettere a e b e che siano tutti di quinto grado. Ovviamente esistono infiniti polinomi che esaudiscono la richiesta dell'esercizio; qui di seguito ne riportiamo tre:

    \\ a^5+b^5 \\ \\ 2a^2b^3-7ab^4-15 b^5 \\ \\ a^2b^3+ab^4-12a^4b+81a^3b^2

    ***

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    Risposta di Galois
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