Soluzioni
  • Si dicono quadranti di un piano cartesiano le quattro parti in cui il piano è diviso dagli assi coordinati. In altri termini, l'asse x e l'asse y dividono il piano cartesiano in quattro parti: ciascuna di queste parti prende il nome di quadrante.

    A seconda della posizione che occupa, ogni quadrante del piano cartesiano assume come nome un numero ordinario che solitamente si indica con i primi quattro numeri romani. Nello specifico:

    - il primo quadrante (I quadrante) è quello in alto a destra;

    - il secondo quadrante (II quadrante) è in alto a sinistra;

    - il terzo quadrante (III quadrante) è posizionato in basso a sinistra;

    - il quarto quadrante (IV quadrante) occupa la pozione in basso a destra.

     

    Quadranti piano cartesiano

     

    Dall'immagine precedente risulta evidente che, partendo dal primo, i quadranti si contano in senso antiorario.

     

    Segno delle coordinate cartesiane in base al quadrante

    Come ben sappiamo, ad ogni punto P del piano cartesiano è associata una coppia di numeri (xP,yP) che prende il nome di coordinate cartesiane.

    A seconda del segno delle coordinate un punto del piano appartiene ad uno specifico quadrante e, viceversa, se sappiamo a quale dei quattro quadranti appartiene un punto allora possiamo dedurne il segno delle coordinate cartesiane. Nello specifico:

    - Un punto P(xP,yP) appartiene al primo quadrante se e solo se entrambe le coordinate sono positive.

    P(x_P,y_P) \in \mbox{ I quadrante } \iff x_P>0 \mbox{ e } y_P>0

    - P(xP,yP) è un punto del secondo quadrante se e solo se l'ascissa è negativa e l'ordinata è positiva.

    P(x_P,y_P) \in \mbox{ II quadrante } \iff x_P<0 \mbox{ e } y_P>0

    - P(xP,yP) è un punto appartenente al terzo quadrante se e solo se ascissa e ordinata sono negative.

    P(x_P,y_P) \in \mbox{ III quadrante } \iff x_P<0 \mbox{ e } y_P<0

    - Un punto P(xP,yP) appartiene al quarto quadrante se e solo se l'ascissa è positiva e l'ordinata è negativa.

    P(x_P,y_P) \in \mbox{ IV quadrante } \iff x_P>0 \mbox{ e } y_P<0

     

    Esempio

    Uno tra i primissimi e più classici esercizi di Geometria Analitica fornisce le coordinate di un punto dipendenti da un parametro e richiede di individuare i possibili valori del parametro in modo che il punto appartenga ad un certo quadrante.

    A titolo di esempio svolgiamo il seguente esercizio: stabilire per quali valori del parametro a il punto P(a+1,a^2-4) appartiene al IV quadrante.

    Soluzione: come visto poc'anzi, affinché un punto appartenga al quarto quadrante la sua ascissa (a-1) deve essere positiva mentre la sua ordinata (a^2-4) deve essere strettamente negativa.

    Dobbiamo quindi risolvere il seguente sistema di disequazioni:

    \begin{cases}a+1>0 \\ a^2-4<0 \end{cases}

    La prima è una disequazione di primo grado soddisfatta per a>-1, mentre la seconda è una disequazione di secondo grado la cui soluzione è -2<a<2. La soluzione del sistema è quindi

    -1<a<2

    Possiamo così concludere che affinché il punto P appartenga al quarto quadrante il parametro a deve assumere valori compresi strettamente tra -1 e 2.

     

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    Risposta di Galois
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