Soluzioni
  • La spirale aurea è una particolare spirale logaritmica di equazione polare r=aφ^θ; la spirale aurea è una curva asimmetrica aperta ottenuta come traiettoria, descritta da un punto materiale che si muove con velocità costante su una semiretta che ruota uniformemente attorno alla sua origine.

    Cos'è la spirale aurea

    In riferimento alla seguente figura, è data una semiretta che ruota uniformemente attorno alla propria origine.

    Il punto materiale P parte dall'origine della semiretta e si muove su di essa con velocità costante.

    Dal momento che la semiretta ruota attorno alla propria origine, il punto descrive una spirale man mano che si muove.

    Una spirale descritta in questo modo prende il nome di spirale aurea.

     

    Spirale aurea

    Spirale aurea.

     

    Costruire la spirale aurea

    Servendoci di riga e compasso e con l'ausilio della successione di Fibonacci possiamo costruire una spirale, detta spirale di Fibonacci, che approssima molto bene la spirale aurea. Andiamo subito al sodo e vediamo quali sono i passi da seguire per disegnare una spirale aurea.

    1) Partiamo col disegnare un quadrato di lato 1 di vertici A, B, C, D e sul lato AB=1 costruiamo un nuovo quadrato di vertici A,B,E,F.

    2) Puntiamo il compasso in A e con apertura AB tracciamo l'arco di circonferenza BF.

    3) Sul lato FD=2 costruiamo un nuovo quadrato di vertici FDGH e centrando il compasso in D tracciamo l'arco FH.

    4) Ancora, sul lato CH=3 disegniamo il quadrato CHIL e centrando il compasso in C tracciamo l'arco HL.

    5) Iterando il procedimento quante volte si vuole (anche all'infinito) si ottiene una spirale che è una buonissima approssimazione della spirale aurea.

     

    Costruzione spirale aurea

    Costruzione della spirale di Fibonacci.

     

    Quella così ottenuta è, come anticipato, la spirale di Fibonacci che approssima molto bene la spirale aurea; tale approssimazione è così buona che ad occhio nudo non si nota alcuna differenza tra le due spirali.

    Il nome "spirale di Fibonacci" è dovuto al fatto che le dimensioni dei lati dei vari quadrati, che si disegnano nei vari passaggi della costruzione vista poc'anzi, sono i termini della successione di Fibonacci.

    Equazione della spirale aurea

    Per esprimere l'equazione della spirale aurea ci occorre un sistema di coordinate polari (r,θ).

    Indicando con φ il numero aureo e con a una costante reale, l'equazione della spirale aurea è

    r = aφ^(θ)

    dove al variare di a nell'insieme dei numeri reali variano le dimensioni della spirale.

    Spirale aurea in natura

    C'è chi ritiene che la spirale aurea sia l'espressione matematica della bellezza della natura; alcuni esempi di spirale aurea in natura sono i seguenti:

    - la sezione del guscio del Nautilus è una perfetta spirale aurea;

    - osservando il cielo notturno con un potente telescopio si possono osservare le Galassie, la cui forma ricorda quella di una spirale aurea;

    - le corna di un ariete crescono seguendo una spirale aurea;

    - il falco pellegrino durante la caccia compie una traiettoria a spirale prima di lanciarsi sulla preda;

    - gli organismi unicellulari che formano il plancton hanno una forma che richiama quella del guscio del Nautilus e quindi simile ad una spirale aurea.

    Spirale aurea in fotografia

    Con l'utilizzo della spirale aurea si riesce a passare da fotografie all'apparenza anonime ad immagini che riescono a catturare l'attenzione di chi le osserva.

    Un buon fotografo, con l'ausilio di macchine professionali, riesce ad utilizzare la spirale aurea già in fase di scatto, ma l'utilizzo principale della spirale avviene in fase di ritocco.

    Tutto parte da un rettangolo aureo che va disegnato sulla fotografia che si vuole perfezionare; al suo interno si disegna poi una spirale aurea centrando il punto della foto che si vuole mettere in risalto col centro della spirale. Fatto ciò si procede a ritagliare l'immagine seguendo i margini del rettangolo. Si ottiene così un'immagine molto più armoniosa della precedente. Provare per credere! ;)

    I più scettici forse non ci crederanno ma per avvalorare tutto ciò è sufficiente sapere che i più famosi software di fotoritocco professionale hanno integrato rettangolo e spirale aurea come strumento automatico di ritaglio. :)

    ***

    È davvero tutto! Per saperne di più sulla sezione aurea - click!

    Risposta di Galois
 
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