Soluzioni
  • Il numero aureo è una costante matematica che si indica con la lettera greca φ; per l'esattezza il numero aureo è un numero irrazionale algebrico il cui valore approssimato alla seconda cifra decimale è 1,62.

    \mbox{Numero aureo } = \ \varphi \ = \ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \ \simeq \ 1,618034

    Definizione di numero aureo

    Il numero aureo si definisce come il rapporto tra due grandezze disuguali delle quali la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due.

    Per fissare le idee diciamo a e b le due grandezze e supponiamo che a sia strettamente maggiore di b (a>b). Se tali grandezze sono tali da formare una proporzione in cui la maggiore (a) è medio proporzionale tra la minore (b) e la loro somma (a+b)

    (a+b):a=a:b

    allora il rapporto a/b è uguale al numero aureo.

    Il numero aureo è quindi quel numero φ tale che

    \varphi = \frac{a}{b}

    dove a e b sono due grandezze in proporzione aurea.

    Come si calcola il numero aureo

    Per capire come si calcola il numero aureo partiamo dalla proporzione aurea

    (a+b):a=a:b

    e scriviamola sotto forma di frazioni

    \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}

    Spezziamo ora la prima frazione nella somma di due frazioni

    \frac{a}{a}+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}

    Evidentemente

    \frac{a}{a}=1, \ \ \frac{a}{b}=\varphi \ \mbox{ e } \ \frac{b}{a}=\frac{1}{\frac{a}{b}}=\frac{1}{\varphi}

    Sostituendo nella relazione precedente otteniamo

    1+\frac{1}{\varphi}=\varphi

    Portiamo tutto a primo membro e calcoliamo il denominatore comune

    \frac{\varphi+1-\varphi^2}{\varphi}=0

    Moltiplicando ambo i membri per φ (supponendo che φ≠0) ricadiamo nella seguente equazione di secondo grado

    \varphi+1-\varphi^2 = 0 \ \mbox{ ossia } \  \varphi^2+\varphi-1=0

    Applicando la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado otteniamo le due soluzioni

    \varphi_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

    Ossia la precedente equazione è soddisfatta per

    \\ \varphi_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\simeq -0,618034\\ \\ \\ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,618034

    Poiché il rapporto tra due grandezze positive è necessariamente un numero positivo, possiamo scartare la soluzione negativa. Pertanto, come anticipato, il numero aureo è

    \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

    e si ottiene dalla soluzione di un'equazione di secondo grado, la quale discende direttamente dalla proporzione aurea.

    Numero aureo e Fibonacci

    Facendo il rapporto tra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci, tale rapporto approssima sempre meglio il numero aureo.

    La successione di Fibonacci è definita come quella successione in cui i primi due termini sono due 1 ed ogni altro termine si ottiene dalla somma dei due numeri precedenti. Dunque i primi termini della successione di Fibonacci sono:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

    Trovando il rapporto tra due termini consecutivi di tale successione si ottiene un numero che approssima sempre meglio il numero aureo. Ad esempio dal rapporto tra il quattordicesimo ed il tredicesimo termine di tale successione si ricava

    \frac{377}{233} \simeq 1,618026

    Calcolando il rapporto tra numeri consecutivi della successione sempre più grandi si ottiene un numero sempre più vicino al numero aureo.

    Se si ha già dimestichezza con i limiti di successione, indicando con F_n l'n-esimo termine della successione di Fibonacci abbiamo che

    \varphi=\lim_{n \to +\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}

    Numero aureo in natura

    Il fascino del numero aureo risiede nel fatto che lo si incontra in tantissimi ambiti, anche in fenomeni e situazioni che all'apparenza non hanno nulla a che fare con la Matematica.

    Se ad esempio proviamo a sezionare una mela si evidenzia il pericarpo che contiene i semi i quali sono disposti in modo tale da formare una stella a 5 punte: il lato e la base di ognuno dei 5 triangoli che la compongono stanno in rapporto aureo.

    Ancora, danno il numero aureo:

    - il rapporto tra la misura del braccio e la misura della distanza tra gomito e mano di un essere umano;

    - il rapporto tra la misura delle falangi del dito medio della mano;

    - il rapporto tra il numero di spirali in senso orario ed in senso antiorario di una pigna;

    .. e potremmo continuare..

    Inoltre sembrerebbe che ha un'ottima qualità di vita chi ha una pressione arteriosa tale che il rapporto tra pressione sistolica (massima) e pressione diastolica (minima) è prossima al numero aureo. :)

    Proprietà del numero aureo

    Per concludere elenchiamo alcune tra le più curiose proprietà del numero aureo.

    - Sommando 1 al numero aureo si ottiene il suo quadrato:

    \varphi+1=\varphi^2

    - Sottrando uno al numero aureo si ottiene il suo reciproco:

    \varphi-1=\frac{1}{\varphi}

    - Il rapporto tra φ+1 e φ-1 concide con φ3:

    \frac{\varphi+1}{\varphi-1}=\varphi^3

    - il reciproco ed il quadrato del numero aureo hanno le stesse identiche cifre decimali:

    \\ \varphi \simeq 1,6180339887...\\ \\ \frac{1}{\varphi}\simeq 0,6180339887...\\ \\ \varphi^2 \simeq 2,6180339887...

    È tutto! Per approfondire ulteriormente e per leggere altri esempi: sezione aurea - click! ;)

    Risposta di Galois
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