Soluzioni
  • Il numero aureo è una costante matematica indicata con la lettera greca φ, ed è per definizione il rapporto tra due grandezze positive tali da essere in proporzione aurea. Il numero aureo vale ((1+√5)/2), ossia 1,6180339887..., e il suo valore approssimato alla seconda cifra decimale è 1,62.

    \mbox{Numero aureo} = \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1,6180339887...

    \mbox{Numero aureo} = \varphi \simeq 1,62

    In particolare il numero aureo è un numero irrazionale algebrico, ossia non rappresentabile sotto forma di rapporto tra numeri interi e che può essere ricavato come soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi.

    Definizione di numero aureo

    Il numero aureo si definisce come il rapporto tra due grandezze con valori diversi, entrambe positive e delle quali la grandezza maggiore è medio proporzionale tra la grandezza minore e la somma delle due.

    Per fissare le idee chiamiamo a e b le due grandezze e supponiamo che a sia maggiore di b\ (a>b). Se le due grandezze sono tali da formare una proporzione in cui quella maggiore (a) è medio proporzionale tra quella minore (b) e la loro somma (a+b)

    (a+b):a=a:b

    allora il rapporto \frac{a}{b} è uguale al numero aureo.

    Il numero aureo è quindi strettamente correlato alla nozione di proporzione aurea, ed è quel numero \varphi tale che

    \varphi = \frac{a}{b}\ \ \ (a>b)

    dove a,b sono due grandezze in proporzione aurea.

    Come calcolare il numero aureo

    Per capire come si calcola il numero aureo partiamo dalla proporzione aurea

    (a+b):a=a:b

    e scriviamola sotto forma di frazioni

    \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}

    Riscriviamo la prima frazione dividendo termine a termine

    \frac{a}{a}+\frac{b}{a}=\frac{a}{b}

    Chiamiamo

    \varphi:=\frac{a}{b}

    per cui

    \frac{b}{a}=\frac{1}{\dfrac{a}{b}}=\frac{1}{\varphi}

    Sostituiamo il tutto nella precedente relazione, e otteniamo

    1+\frac{1}{\varphi}=\varphi

    Portiamo tutto a primo membro e calcoliamo il denominatore comune

    \frac{\varphi+1-\varphi^2}{\varphi}=0

    Moltiplichiamo ambo i membri per \varphi (imponendo \varphi \neq 0), così da passare alla seguente equazione di secondo grado

    \varphi+1-\varphi^2 = 0

    ossia

    \varphi^2-\varphi-1=0

    Applichiamo la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado e calcoliamo le soluzioni

    \varphi_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}

    La precedente equazione è dunque soddisfatta per

    \\ \varphi_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\simeq -0,618034\\ \\ \\ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,618034

    Poiché il rapporto tra due grandezze positive è necessariamente un numero positivo, possiamo scartare la soluzione negativa. In definitiva il numero aureo è dato da

    \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}

    e come abbiamo visto si ottiene da un'equazione di secondo grado a coefficienti interi, che discende direttamente dalla proporzione aurea.

    Numero aureo e Fibonacci

    La successione di Fibonacci consente di approssimare il numero aureo. Più precisamente il rapporto tra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci approssima il numero aureo, e l'approssimazione è tanto più accurata quanto più sono grandi i numeri considerati.

    La successione di Fibonacci è definita come la sequenza di numeri in cui i primi due termini sono 1 e ogni altro termine si ottiene dalla somma dei due numeri precedenti:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...

    Calcolando il rapporto tra due termini consecutivi di tale successione si ottiene un numero che approssima sempre meglio il numero aureo. Ad esempio, dal rapporto tra il quattordicesimo ed il tredicesimo termine di tale successione si ricava:

    \frac{377}{233} \simeq 1,618026

    Calcolando il rapporto tra numeri consecutivi della successione sempre più grandi si ottiene un numero sempre più vicino al numero aureo.

    Per chi ha dimestichezza con i limiti di successione, se indichiamo con F_n l'n-esimo termine della successione di Fibonacci allora risulta:

    \varphi=\lim_{n \to +\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}

    Numero aureo in natura

    Il fascino del numero aureo è dovuto al fatto che ricorre in tantissimi ambiti, anche in fenomeni e situazioni che all'apparenza non hanno nulla a che fare con la Matematica.

    Se ad esempio proviamo a sezionare una mela, se ne evidenzia il pericarpo. Quest'ultimo contiene i semi, che sono disposti in modo tale da formare una stella a 5 punte. Il lato e la base di ciascuno dei 5 triangoli che la compongono sono in rapporto aureo tra loro.

    Sono inoltre riconducibili al numero aureo:

    - il rapporto tra la misura del braccio e la misura della distanza tra gomito e mano di un essere umano;

    - il rapporto tra la misura delle falangi del dito medio della mano;

    - il rapporto tra il numero di spirali in senso orario e in senso antiorario di una pigna;

    ... E potremmo continuare... :)

    Sembrerebbe inoltre che goda di ottima salute chi ha una pressione arteriosa tale che il rapporto tra pressione sistolica (massima) e pressione diastolica (minima) sia prossima al numero aureo. :)

    Proprietà del numero aureo

    Per concludere elenchiamo alcune tra le più curiose proprietà del numero aureo.

    • Sommando 1 al numero aureo si ottiene il suo quadrato:

    \varphi+1=\varphi^2

    • Sottraendo uno al numero aureo si ottiene il suo reciproco:

    \varphi-1=\frac{1}{\varphi}

    • Il rapporto tra \varphi+1\varphi-1 coincide con φ3:

    \frac{\varphi+1}{\varphi-1}=\varphi^3

    • Il reciproco ed il quadrato del numero aureo hanno le stesse identiche cifre decimali:

    \\ \varphi \simeq 1,6180339887...\\ \\ \frac{1}{\varphi}\simeq 0,6180339887...\\ \\ \varphi^2 \simeq 2,6180339887...

    ***

    È tutto! Per approfondire ulteriormente e per leggere altri esempi: sezione aurea - click! ;)

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Algebra