Soluzioni
  • Si definisce dimensione di uno spazio vettoriale la cardinalità di una sua base qualsiasi. In altri termini, dato un qualsiasi spazio vettoriale finitamente generato, la sua dimensione è pari al numero degli elementi di una sua qualunque base.

    In termini ancora più espliciti, se V è uno spazio vettoriale e \mathcal{B} è una sua base, indicando con \mbox{dim}(V) la dimensione di V si ha che

    \mbox{dim}(V)=|\mathcal{B}|

    dove |\mathcal{B}| indica la cardinalità della base considerata.

    Risulta quindi evidente che per calcolare la dimensione di uno spazio o di un sottospazio vettoriale è indispensabile sapere come se ne determina una base. Se non sapete come fare potete consultare la lezione del link.

    Esempio

    Supponiamo di voler calcolare la dimensione del seguente sottospazio generato

    \\ U=\mbox{Span}(\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3)\\ \\ \mathbf{u}_1=(1,0,-3) \\ \\ \mathbf{u_2}=(2,1,-5) \\ \\ \mathbf{u}_3=(0,4,4)

    Per determinare una base di U e quindi calcolarne la dimensione è sufficiente estrarre una base dal sistema di generatori \{\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3\}. Procediamo, ad esempio, col metodo di eliminazione gaussiana.

    Disponiamo i tre vettori per colonna in una matrice

    M=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 0&1&4 \\ -3&-5&4\end{pmatrix}

    Sostituiamo la terza riga R_3 con la combinazione lineare

    R_3 \to 3R_1+R_3 = \begin{pmatrix}3&6&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3&-5&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&4\end{pmatrix}

    Il risultato è

    M'=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 0&1&4 \\ 0&1&4\end{pmatrix}

    Infine, sostituendo la terza riga di M' con la somma tra l'opposta della seconda riga e la terza

    R_3 \to -R_2+R_3 = \begin{pmatrix}0&-1&-4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&1&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0\end{pmatrix}

    si ottiene la matrice a gradini

    M'=\begin{pmatrix}1&2&0 \\ 0&1&4 \\ 0&0&0\end{pmatrix}

    Il numero di pivot di M' è il massimo numero di vettori linearmente indipendenti del sottospazio U. Una base di tale sottospazio è data dalle colonne della matrice non ridotta che corrispondono alle colonne della matrice ridotta contenenti i pivot

    \mathcal{B}=\{\mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2\}=\{(1,0,-3),(2,1,-5)\}

    e quindi la dimensione del sottospazio è 2.

    Dimensione dei principali spazi vettoriali

    1) Per ogni n \in \mathbb{N}, la dimensione di \mathbb{R}^n è n.

    \mbox{dim}(\mathbb{R}^n)=n

    2) Lo spazio delle matrici Mat(m,n,\mathbb{R}) formato dalle matrici con m righe e n colonne a coefficienti reali ha dimensione m \times n

    \mbox{dim}(Mat(m,n,\mathbb{R}))=m \times n

    3) Lo spazio vettoriale definito dall'insieme delle matrici simmetriche di ordine n ha dimensione

    \frac{n(n+1)}{2}

    4) Lo spazio vettoriale dei polinomi \mathbb{R}_n[x], formato dai polinomi a coefficienti reali di grado al più n ha dimensione n+1

    \mbox{dim}(\mathbb{R}_n[x])=n+1

    5) Lo spazio vettoriale formato dal solo vettore nullo ha, per definizione, dimensione 0

    \mbox{dim}(\{\mathbf{0}\})=0

    6) Esistono spazi vettoriali con dimensione infinita, come lo spazio \mathbb{R}[x] formato dai polinomi reali, o lo spazio C^0(I) definito come l'insieme delle funzioni continue definite nell'intervallo reale I.

    Tali spazi vengono detti infinito-dimensionali, e il loro studio viene affrontato in corsi di Algebra Lineare non di base.

    Come determinare la dimensione di uno spazio vettoriale

    Talvolta negli esercizi capita di non avere a disposizione dati sufficienti per determinare la base di uno spazio vettoriale, e quindi risulta impossibile calcolarne la dimensione. In tali situazioni possono risultare utili i seguenti risultati, che tra l'altro possono essere usati per verificare la correttezza dei risultati ottenuti o per svolgere gli esercizi più velocemente.

    - Formula di Grassmann: la dimensione della somma di due spazi vettoriali U \mbox{ e } V è data dalla somma tra le loro dimensioni a cui si sottrae la dimensione del sottospazio intersezione. In formule

    \mbox{dim}(U+V)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(V)-\mbox{dim}(U \cap V)

    In particolare, se i sottospazi U \mbox{ e } V sono in somma diretta, allora

    \mbox{dim}(U+V)=\mbox{dim}(U)+\mbox{dim}(V)

    Per saperne di più vi rimandiamo alla lezione su somma e intersezione di sottospazi vettoriali.

    - Teorema delle dimensioni: data un'applicazione lineare f:V \to W, la dimensione dello spazio di partenza è uguale alla somma tra la dimensione del nucleo e la dimensione dell'immagine dell'applicazione f, ossia

    \mbox{dim}(V)=\mbox{dim}(\mbox{ker}(f))+\mbox{dim}(\mbox{Im}(f))

    Per tutti gli approfondimenti del caso: dimensione e basi di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.

    ***

    È tutto! Se vi occorrono esercizi svolti sul calcolo della dimensione di un sottospazio vettoriale potete usare la barra di ricerca interna.

    Risposta di Galois
 
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