Retta normale

La retta normale a una curva in un punto P (appartenente alla curva) è la retta passante per il punto P e perpendicolare alla retta tangente alla curva in P. In altre parole la retta normale a una curva in un suo punto P è la retta ortogonale alla tangente nel punto P.

Per capire la definizione di retta normale disegniamo una curva qualsiasi, ad esempio un'ellisse. Consideriamo un suo punto P e tracciamo la retta tangente alla curva in P. La retta normale è la retta perpendicolare alla tangente e passante per il punto di tangenza.

Attenzione quindi a non fare confusione tra il concetto di retta normale e quello di retta perpendicolare: la retta normale è una particolare retta perpendicolare e, in generale, una retta perpendicolare non è una retta normale.

Esempio di retta normale a una curva in un punto.

Equazione della retta normale

Supponiamo di conoscere l'equazione di una curva e le coordinate cartesiane di un suo punto .

Per trovare l'equazione della retta normale alla curva nel punto basta seguire alcuni semplici passaggi.

1) Determinare il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in .

Per farlo si procede in modi diversi a seconda che la curva sia una conica (circonferenza, parabola, ellisse o iperbole) oppure corrisponda al grafico di una funzione .

• Nel caso di una funzione , il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto è

dove è la derivata prima di valutata in .

• Nel caso di una conica bisogna:

- scrivere l'equazione del fascio di rette di centro

- Mettere a sistema l'equazione della conica con l'equazione del fascio, e risolverlo per sostituzione.

- Calcolare il discriminante dell'equazione parametrica di secondo grado che ne risulta, e che dipenderà dal parametro .

- Imporre la condizione di tangenza, ossia richiedere che il discriminante sia nullo.

Se è stato fatto tutto correttamente si ottiene un unico valore di , che corrisponde alla pendenza della retta .

2) Trovare il coefficiente angolare della retta normale (che indichiamo con ) imponendo la condizione di perpendicolarità tra rette, secondo cui due rette sono perpendicolari se il coefficiente angolare dell'una è l'opposto del reciproco del coefficiente angolare dell'altra.

Più esplicitamente, detto il coefficiente angolare della retta tangente e quello della retta normale, risulta:

3) L'equazione della retta normale si ottiene applicando la formula per la retta passante per un punto e con coefficiente angolare noto:

Nota bene: se il coefficiente angolare della retta tangente non è definito, allora deve essere necessariamente parallela all'asse y. In tal caso la retta tangente è

e quindi l'equazione della retta normale è

Esempi sul calcolo dell'equazione della retta normale

1) Data la parabola di equazione

determinare l'equazione della retta normale nel suo punto .

Svolgimento: per prima cosa troviamo l'equazione della retta tangente alla parabola in .

Scriviamo l'equazione del fascio di rette di centro

Sostituiamo , e otteniamo

ossia

Mettiamo a sistema l'equazione del fascio con l'equazione della parabola

Sostituiamo nella seconda equazione

e con qualche passaggio otteniamo:

Concentriamoci sulla seconda equazione

Calcoliamo il discriminante associato

e imponiamo che sia nullo

Il risultato è il coefficiente angolare della retta tangente, dunque

Da qui calcoliamo il coefficiente angolare della retta normale

e abbiamo tutto quello che ci serve per ricavarne l'equazione:

2) Trovare l'equazione della retta normale al grafico della funzione

nel suo punto di ascissa 1.

Svolgimento: calcoliamo l'ordinata del punto sostituendo il valore della sua ascissa nell'espressione della funzione

Il punto di contatto è quindi .

Troviamo la derivata prima della funzione usando la regola per la derivata di un rapporto

Calcoliamo le due derivate a numeratore

Sviluppiamo il quadrato di binomio e calcoliamo i prodotti

Sommiamo i termini simili

e raccogliamo a fattor comune

In definitiva

Valutiamola in

e otteniamo il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in

Troviamo il coefficiente angolare della retta normale, che l'antireciproco di

Abbiamo praticamente finito: l'equazione della retta normale è

ossia

che possiamo riscrivere come

***

Per concludere ti segnaliamo il tool per disegnare luoghi geometrici online, che potrebbe servirti per verificare i risultati degli esercizi.