Soluzioni
  • Molto spesso si fa confusione tra funzione reciproca e funzione inversa o, ancor peggio, i due termini vengono usati come sinonimi. Vediamo quindi di far chiarezza vedendo la differenza tra funzione inversa e funzione reciproca.

    La funzione reciproca di una funzione f(x) (reale di variabile reale) è definita come:

    \frac{1}{f(x)}

    ovvero è quella funzione tale che il prodotto tra la funzione e la sua reciproca dà 1:

    f(x) \cdot \frac{1}{f(x)}=1

    Ovviamente, la funzione reciproca esiste sempre, per qualunque funzione si considera.

    La funzione inversa di una funzione f(x) invece è quella funzione che si indica con f-1(x) ed è tale che la composizione con la funzione di partenza dia x, ovvero

    (f^{-1} \circ f)(x) = (f \circ f^{-1})(x) = x

    Inoltre la funzione inversa non è sempre definita, ci sono cioè funzioni che non sono invertibili.

     

    Esempi di funzioni reciproche e funzioni inverse

    Consideriamo la funzione esponenziale

    f(x)=e^x

    la sua reciproca è la funzione

    y=\frac{1}{e^x}

    Mentre la sua inversa è la funzione logaritmo

    f^{-1}(x)=\ln(x)

    infatti, per le proprietà dei logaritmi

    (f^{-1} \circ f)(x) = \ln[e^x]=x\ln(e)=x

    e, per definizione di logaritmo

    (f \circ f^{-1})(x) = e^{\ln(x)}=x

    Soprattutto quando si ha a che fare con le funzioni goniometriche si fa un sacco di confusione tra reciproca ed inversa. Presa, ad esempio, la funzione seno, la sua inversa è la funzione arcoseno, mentre la sua reciproca è la funzione cosecante.

    Per conoscere vita, morte e miracoli della funzione inversa - click! ;)

    Risposta di Omega
 
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