La Jacobiana di una funzione (in generale vettoriale) di più variabili reali è una matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione; la matrice Jacobiana permette di estendere il concetto di derivata alle funzioni di più variabili.
Data cioè una funzione vettoriale di più variabili
definita in un sottoinsieme
ed a valori in
, che ad
la matrice Jacobiana associata alla funzione f è data da
Come possiamo vedere tale matrice è, in generale, una matrice rettangolare avente m righe (tante quanta la dimensione dell'insieme d'arrivo della funzione f) ed n colonne (pari alla dimensione dell'insieme di definizione).
Un modo per ricordare come si costruisce la Jacobiana di una funzione è il seguente:
la i-esima riga corrisponde al gradiente della i-esima componente fi della funzione f per i che varia da 1 ad m, ovvero:
Ragion per cui, alla fine della fiera, basta solo sapere come si calcolano le derivate parziali - click!
Esempio di calcolo della matrice Jacobiana
Consideriamo la seguente funzione vettoriale
con
Allora la matrice Jacobiana sarà data da:
Essendo
Abbiamo che
Casi particolari di matrice Jacobiana
Data una funzione
- Se abbiamo a che fare con una funzione reale di più variabili reali, ovvero se m=1
la matrice Jacobiana è una matrice riga e coincide con il gradiente della funzione, ovvero
- Se siamo di fronte ad una funzione reale di una variabile reale, ovvero n=m=1 e quindi
la Jacobiana è formata da un solo elemento e coincide con la derivata prima della funzione.
- Se la dimensione dell'insieme d'arrivo coincide con la dimensione dell'insieme di definizione, ovvero n=m, la matrice Jacobiana è una matrice quadrata. Potremmo quindi, in tal caso, calcolare il determinante il quale si dirà Jacobiano della funzione - click per approfondire ;)
- Per sapere come si calcola la matrice Jacobiana di una funzione composta - click!
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