Matrice Jacobiana

Ciao Staff, mi spiegate la definizione di matrice Jacobiana e come calcolare la matrice Jacobiana di una funzione? Inoltre, se non chiedo troppo, mi servirebbe sapere la teoria di base e magari vedere un esempio di calcolo.

Vi ringrazio :)

Domanda di FAQ

Soluzioni

La Jacobiana di una funzione (in generale vettoriale) di più variabili reali è una matrice i cui elementi sono le derivate parziali prime della funzione; la matrice Jacobiana permette di estendere il concetto di derivata alle funzioni di più variabili.
Data cioè una funzione vettoriale di più variabili
$f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$
definita in un sottoinsieme $\Omega \ \mbox{di} \ \mathbb{R}^n$ ed a valori in $\mathbb{R}^m$ , che ad
$\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n \ \mbox{associa} \ f(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}), f_2(\mathbf{x}),\cdots, f_m(\mathbf{x})) \in \mathbb{R}^m$
la matrice Jacobiana associata alla funzione f è data da
$J_f(\mathbf{x})=\left[\begin{matrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(\mathbf{x}) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \\ \\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1 }(\mathbf{x}) & \frac{\partial f_2}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(\mathbf{x}) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(\mathbf{x}) \end{matrix}\right] \in \mathbb{R}^{m,n}$
Come possiamo vedere tale matrice è, in generale, una matrice rettangolare avente m righe (tante quanta la dimensione dell'insieme d'arrivo della funzione f) ed n colonne (pari alla dimensione dell'insieme di definizione).
Un modo per ricordare come si costruisce la Jacobiana di una funzione è il seguente:
la i-esima riga corrisponde al gradiente della i-esima componente f_i della funzione f per i che varia da 1 ad m, ovvero:
$J_f(\mathbf{x})=\left[\begin{matrix}\mbox{grad}f_1(\mathbf{x}) \\ \mbox{grad}f_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ \mbox{grad}f_m(\mathbf{x}) \end{matrix}\right]$
Ragion per cui, alla fine della fiera, basta solo sapere come si calcolano le derivate parziali - click!

Esempio di calcolo della matrice Jacobiana
Consideriamo la seguente funzione vettoriale
$f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$
$(x,y,z) \mapsto f(x,y,z)=(f_1(x,y,z), f_2(x,y,z))$
con
Allora la matrice Jacobiana sarà data da:
$J_f(x,y,z)=\left[\begin{matrix}\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial f_1}{\partial z}(x,y,z) \\ \\ \frac{\partial f_2}{\partial x }(x,y,z) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial f_2}{\partial z}(x,y,z)\end{matrix}\right] \in \mathbb{R}^{2,3}$
Essendo
$\frac{\partial f_1}{\partial x}(x,y,z) = 2xy$
$\frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y,z) = x^2$
$\frac{\partial f_1}{\partial z}(x,y,z) = 0$
$\frac{\partial f_2}{\partial x}(x,y,z) = 5yz$
$\frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y,z) = 5xz$
$\frac{\partial f_2}{\partial z}(x,y,z) = 5xy$
Abbiamo che
$J_f(x,y,z)=\left[\begin{matrix}2xy & x^2 & 0 \\ 5yz & 5xz & 5xy\end{matrix}\right] \in \mathbb{R}^{2,3}$

Casi particolari di matrice Jacobiana
Data una funzione
$f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$
- Se abbiamo a che fare con una funzione reale di più variabili reali, ovvero se m=1
$f:\Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$
la matrice Jacobiana è una matrice riga e coincide con il gradiente della funzione, ovvero
$J_f(\mathbf{x})=\mbox{grad}f(\mathbf{x})$
- Se siamo di fronte ad una funzione reale di una variabile reale, ovvero n=m=1 e quindi
$f:\Omega \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
la Jacobiana è formata da un solo elemento e coincide con la derivata prima della funzione.
- Se la dimensione dell'insieme d'arrivo coincide con la dimensione dell'insieme di definizione, ovvero n=m, la matrice Jacobiana è una matrice quadrata. Potremmo quindi, in tal caso, calcolare il determinante il quale si dirà Jacobiano della funzione - click per approfondire ;)
- Per sapere come si calcola la matrice Jacobiana di una funzione composta - click!
Risposta di Omega