Polinomio monico

Autore: Giuseppe Carichino (Galois) -
Ultimo aggiornamento:

Qual è la definizione di polinomio monico, e qual è la proprietà che caratterizza i polinomi monici?

Volevo anche chiedervi, oltre alla definizione, uno o due esempi di polinomi monici e non monici.

Soluzione

Si dice polinomio monico qualsiasi polinomio in una indeterminata (lettera) in cui il coefficiente numerico del monomio di grado massimo è 1. In modo equivalente, un polinomio in una indeterminata è monico se la parte numerica del monomio di grado massimo è 1.

La nozione di polinomio monico è estremamente semplice, e si rivela utile nel prosieguo degli studi di Algebra per esprimere sinteticamente la proprietà dei polinomi di avere 1 come coefficiente del termine di grado massimo.

Esempi di polinomi monici

I seguenti polinomi

x^3+2x^2−2x+1 ; y^5−6y^3+2y−5 ; 3t^2+t^4−5t

sono tutti polinomi monici, infatti sono polinomi in una sola indeterminata (rispettivamente x,y,t) e il coefficiente del termine di grado massimo (sottolineato) è uguale a 1.

Definizione formale di polinomio monico

Volendo esprimerci mediante simbolismo matematico, un generico polinomio di grado n nell'indeterminata x

P(x) = a_nx^n+a_(n−1)x^(n−1)+....+a_2x^2+a_1x+a_0

è monico se e solo se a_n = 1, ossia se e solo se è della forma

P(x) = x^n+a_(n−1)x^(n−1)+....+a_2x^2+a_1x+a_0

Come ricavare il polinomio monico associato a un polinomio non monico

Dato un qualsiasi polinomio di grado n

P(x) = a_nx^n+a_(n−1)x^(n−1)+....+a_2x^2+a_1x+a_0

con coefficienti reali a_0,a_1,...,a_(n)∈R, è sempre possibile ricavarne il corrispondente polinomio monico.

Poiché nella nostra ipotesi P(x) ha grado n, deve essere

a_n ≠ 0

e dunque possiamo determinare il polinomio monico P(x) associato a P(x), ottenuto dividendo ciascun coefficiente per a_n

P(x) = (P(x))/(a_n) = x^n+(a_(n−1))/(a_n)x^(n−1)+....+(a_2)/(a_n)x^2+(a_1)/(a_n)x+(a_0)/(a_n)

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