Soluzioni
  • Si dice polinomio monico qualsiasi polinomio in una indeterminata (lettera) in cui il coefficiente numerico del monomio di grado massimo è 1. In modo equivalente, un polinomio in una indeterminata è monico se la parte numerica del monomio di grado massimo è 1.

    La nozione di polinomio monico è estremamente semplice, e si rivela utile nel prosieguo degli studi di Algebra per esprimere sinteticamente la proprietà dei polinomi di avere 1 come coefficiente del termine di grado massimo.

    Esempi di polinomi monici

    I seguenti polinomi

    \underline{x^3}+2x^2-2x+1\\ \\ \underline{y^5}-6y^3+2y-5\\ \\ 3t^2+\underline{t^4}-5t

    sono tutti polinomi monici, infatti sono polinomi in una sola indeterminata (rispettivamente a,y,t) e il coefficiente del termine di grado massimo (sottolineato) è uguale a 1.

    Definizione formale di polinomio monico

    Volendo esprimerci mediante simbolismo matematico, un generico polinomio di grado n nell'indeterminata x

    P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_2x^2+a_1x+a_0

    è monico se e solo se a_n=1, ossia se e solo se è della forma

    P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_2x^2+a_1x+a_0

    Come ricavare il polinomio monico associato a un polinomio non monico

    Dato un qualsiasi polinomio di grado n

    P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_2x^2+a_1x+a_0

    con coefficienti reali a_0,a_1,...,a_{n}\in\mathbb{R}, è sempre possibile ricavarne il corrispondente polinomio monico.

    Poiché nella nostra ipotesi P(x) ha grado n, deve essere

    a_n\neq 0

    e dunque possiamo determinare il polinomio monico \tilde{P}(x) associato a P(x), ottenuto dividendo ciascun coefficiente per a_n

    \tilde{P}(x)=\frac{P(x)}{a_n}=x^n+\frac{a_{n-1}}{n}x^{n-1}+....+\frac{a_2}{a_n}x^2+\frac{a_1}{a_n}x+\frac{a_0}{a_n}

    ***

    Per tutti gli approfondimenti del caso: polinomi - click! ;)

    Risposta di Omega
 
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