Seno di 60 gradi

Quanto vale il seno di 60 gradi e, soprattutto, come si calcola? Mi è stato detto che è uno dei valori delle funzioni goniometriche che vanno imparati a memoria, ma vorrei sapere qual è il metodo per calcolarlo.

Ho notato che il seno di 60 e il seno di pigreco terzi hanno lo stesso valore. È un caso oppure sono la stessa cosa? Eventualmente quali tra le due scritture è preferibile?

Domanda di FAQ

Soluzioni

Il seno di 60 gradi vale radical tre mezzi (√3/2), si indica con sin(60°) oppure con sen(60°) ed è uno dei valori notevoli delle funzioni goniometriche.
$\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$
In Trigonometria si preferisce esprimere la misura degli angoli in radianti, anziché in gradi.
Se convertiamo 60 gradi in radianti otteniamo che 60° equivalgono a Pi Greco terzi radianti
$60^{\circ} \to \frac{\pi}{3}$
di conseguenza il seno di pigreco terzi corrisponde al seno di 60° e vale radical tre mezzi
$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Il seno di 60°, o equivalentemente il seno di pigreco terzi, è uno di quei valori che si consiglia di imparare a memoria perché compare talmente tante volte negli esercizi di Trigonometria (e non solo) che sarebbe impensabile ricavarlo ogni volta.
Il metodo con cui calcolarlo è relativamente semplice, ma non così immediato: si avvale dell'uso della circonferenza goniometrica e di alcune proprietà dei triangoli.
Seno di 60° con la circonferenza goniometrica
Disegniamo la circonferenza goniometrica. Tracciamo un angolo di 60° partendo dal semiasse delle ascisse positive e procedendo in senso antiorario.
Il secondo lato dell'angolo interseca la circonferenza in un punto, che chiamiamo P. Consideriamo poi le proiezioni ortogonali di P sugli assi cartesiani e chiamiamo H la proiezione di P sull'asse y e K la proiezione di P sull'asse x, come mostra la seguente immagine:

Seno di 60°.

Per definizione di seno di un angolo, il seno di 60° è l'ordinata del punto P ed è uguale alla misura con segno del segmento , che in questo caso è positiva perché H appartiene al semiasse delle ordinate positive.
$\sin(60^{\circ})=y_P = \overline{OH}$
L'ascissa del punto P, ossia la misura con segno del segmento , è invece il coseno di 60 gradi.
Calcolo del seno di 60°
In base alle precedenti osservazioni, per calcolare il seno di 60 gradi basta calcolare la lunghezza del segmento , che coincide con la lunghezza del segmento . Per farlo useremo qualche proprietà dei triangoli che dovremmo conoscere dalla scuola media o dal primo anno di scuola superiore.
Partiamo dalla precedente immagine: chiamiamo A il punto di intersezione tra la circonferenza goniometrica e il semiasse delle ascisse positive, e tracciamo il segmento che unisce i punti P ed A.

Calcolo del seno di 60 gradi.

Concentriamoci sul triangolo di vertici O, P, A e osserviamo che è un triangolo isoscele di base , infatti i lati e sono raggi della circonferenza goniometrica, e quindi sono uguali
$\overline{OP}=\overline{OA}=1$
In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, dunque
$\widehat{OPA}=\widehat{OAP}$
Calcoliamone l'ampiezza. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°:
$\widehat{POA}+\widehat{OPA}+\widehat{OAP}=180^{\circ}$
Poiché l'angolo di vertice O misura 60°
$\widehat{POA}=60^{\circ}$
la somma degli angoli alla base è uguale a 120°
$\widehat{OPA}+\widehat{OAP}=180^{\circ}-\widehat{POA}=\\ \\ =180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$
Dal momento che sono congruenti, ciascun angolo alla base è ampio 60°
$\widehat{OPA}=\widehat{OAP}=60^{\circ}$
e ciò implica che il triangolo di vertici O, P, A è un triangolo equilatero.
Ricordiamo ora che K è la proiezione ortogonale di P sull'asse delle ascisse, per cui è un'altezza del triangolo.
In un triangolo equilatero l'altezza è anche mediana, dunque K è punto medio del segmento , ossia lo divide in parti uguali
$\overline{OK}=\frac{\overline{OA}}{2}=\frac{1}{2}$
Il nostro obiettivo è calcolare la misura del segmento , e possiamo farlo con il teorema di Pitagora
$\overline{PK}=\sqrt{\overline{OP}^2-\overline{OK}^2}= \sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=$
svolgiamo i calcoli sotto radice
$=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
e ci siamo! La misura del segmento è il seno di 60 gradi, e ciò dimostra che il seno di 60 è uguale a radical tre mezzi
$\sin(60^{\circ})=\overline{PK}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
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Concludiamo con il link alla tabella dei valori notevoli notevoli delle funzioni goniometriche, che consigliamo di avere sempre a portata di mano. ;)
Risposta di Galois