Soluzioni
  • Il seno di 60 gradi vale radical tre mezzi (√3/2), si indica con sin(60°) oppure con sen(60°) ed è uno dei valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    \sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    In Trigonometria si preferisce esprimere la misura degli angoli in radianti, anziché in gradi.

    Se convertiamo 60 gradi in radianti otteniamo che 60° equivalgono a Pi Greco terzi radianti

    60^{\circ} \to \frac{\pi}{3}

    di conseguenza il seno di pigreco terzi corrisponde al seno di 60° e vale radical tre mezzi

    \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Il seno di 60°, o equivalentemente il seno di pigreco terzi, è uno di quei valori che si consiglia di imparare a memoria perché compare talmente tante volte negli esercizi di Trigonometria (e non solo) che sarebbe impensabile ricavarlo ogni volta.

    Il metodo con cui calcolarlo è relativamente semplice, ma non così immediato: si avvale dell'uso della circonferenza goniometrica e di alcune proprietà dei triangoli.

    Seno di 60° con la circonferenza goniometrica

    Disegniamo la circonferenza goniometrica. Tracciamo un angolo di 60° partendo dal semiasse delle ascisse positive e procedendo in senso antiorario.

    Il secondo lato dell'angolo interseca la circonferenza in un punto, che chiamiamo P. Consideriamo poi le proiezioni ortogonali di P sugli assi cartesiani e chiamiamo H la proiezione di P sull'asse y e K la proiezione di P sull'asse x, come mostra la seguente immagine:

     

    Seno di 60

    Seno di 60°.

     

    Per definizione di seno di un angolo, il seno di 60° è l'ordinata del punto P ed è uguale alla misura con segno del segmento OH, che in questo caso è positiva perché H appartiene al semiasse delle ordinate positive.

    \sin(60^{\circ})=y_P = \overline{OH}

    L'ascissa del punto P, ossia la misura con segno del segmento OK, è invece il coseno di 60 gradi.

    Calcolo del seno di 60°

    In base alle precedenti osservazioni, per calcolare il seno di 60 gradi basta calcolare la lunghezza del segmento OH, che coincide con la lunghezza del segmento PK. Per farlo useremo qualche proprietà dei triangoli che dovremmo conoscere dalla scuola media o dal primo anno di scuola superiore.

    Partiamo dalla precedente immagine: chiamiamo A il punto di intersezione tra la circonferenza goniometrica e il semiasse delle ascisse positive, e tracciamo il segmento che unisce i punti P ed A.

     

    Calcolo seno di 60°

    Calcolo del seno di 60 gradi.

     

    Concentriamoci sul triangolo di vertici O, P, A e osserviamo che è un triangolo isoscele di base PA, infatti i lati OA e OP sono raggi della circonferenza goniometrica, e quindi sono uguali

    \overline{OP}=\overline{OA}=1

    In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, dunque

    \widehat{OPA}=\widehat{OAP}

    Calcoliamone l'ampiezza. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°:

    \widehat{POA}+\widehat{OPA}+\widehat{OAP}=180^{\circ}

    Poiché l'angolo di vertice O misura 60°

    \widehat{POA}=60^{\circ}

    la somma degli angoli alla base è uguale a 120°

    \widehat{OPA}+\widehat{OAP}=180^{\circ}-\widehat{POA}=\\ \\ =180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}

    Dal momento che sono congruenti, ciascun angolo alla base è ampio 60°

    \widehat{OPA}=\widehat{OAP}=60^{\circ}

    e ciò implica che il triangolo di vertici O, P, A è un triangolo equilatero.

    Ricordiamo ora che K è la proiezione ortogonale di P sull'asse delle ascisse, per cui PK è un'altezza del triangolo.

    In un triangolo equilatero l'altezza è anche mediana, dunque K è punto medio del segmento OA, ossia lo divide in parti uguali

    \overline{OK}=\frac{\overline{OA}}{2}=\frac{1}{2}

    Il nostro obiettivo è calcolare la misura del segmento PK, e possiamo farlo con il teorema di Pitagora

    \overline{PK}=\sqrt{\overline{OP}^2-\overline{OK}^2}= \sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}=

    svolgiamo i calcoli sotto radice

    =\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

    e ci siamo! La misura del segmento PK è il seno di 60 gradi, e ciò dimostra che il seno di 60 è uguale a radical tre mezzi

    \sin(60^{\circ})=\overline{PK}=\frac{\sqrt{3}}{2}

    ***

    Concludiamo con il link alla tabella dei valori notevoli notevoli delle funzioni goniometriche, che consigliamo di avere sempre a portata di mano. ;)

    Risposta di Galois
 
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