Il seno di 60 gradi vale radical tre mezzi (√3/2), si indica con sin(60°) oppure con sen(60°) ed è uno dei valori notevoli delle funzioni goniometriche.
In Trigonometria si preferisce esprimere la misura degli angoli in radianti, anziché in gradi.
Se convertiamo 60 gradi in radianti otteniamo che 60° equivalgono a Pi Greco terzi radianti
di conseguenza il seno di pigreco terzi corrisponde al seno di 60° e vale radical tre mezzi
Il seno di 60°, o equivalentemente il seno di pigreco terzi, è uno di quei valori che si consiglia di imparare a memoria perché compare talmente tante volte negli esercizi di Trigonometria (e non solo) che sarebbe impensabile ricavarlo ogni volta.
Il metodo con cui calcolarlo è relativamente semplice, ma non così immediato: si avvale dell'uso della circonferenza goniometrica e di alcune proprietà dei triangoli.
Seno di 60° con la circonferenza goniometrica
Disegniamo la circonferenza goniometrica. Tracciamo un angolo di 60° partendo dal semiasse delle ascisse positive e procedendo in senso antiorario.
Il secondo lato dell'angolo interseca la circonferenza in un punto, che chiamiamo P. Consideriamo poi le proiezioni ortogonali di P sugli assi cartesiani e chiamiamo H la proiezione di P sull'asse y e K la proiezione di P sull'asse x, come mostra la seguente immagine:
Seno di 60°.
Per definizione di seno di un angolo, il seno di 60° è l'ordinata del punto P ed è uguale alla misura con segno del segmento
, che in questo caso è positiva perché H appartiene al semiasse delle ordinate positive.
L'ascissa del punto P, ossia la misura con segno del segmento
, è invece il coseno di 60 gradi.
Calcolo del seno di 60°
In base alle precedenti osservazioni, per calcolare il seno di 60 gradi basta calcolare la lunghezza del segmento
, che coincide con la lunghezza del segmento
. Per farlo useremo qualche proprietà dei triangoli che dovremmo conoscere dalla scuola media o dal primo anno di scuola superiore.
Partiamo dalla precedente immagine: chiamiamo A il punto di intersezione tra la circonferenza goniometrica e il semiasse delle ascisse positive, e tracciamo il segmento che unisce i punti P ed A.
Calcolo del seno di 60 gradi.
Concentriamoci sul triangolo di vertici O, P, A e osserviamo che è un triangolo isoscele di base
, infatti i lati
e
sono raggi della circonferenza goniometrica, e quindi sono uguali
In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, dunque
Calcoliamone l'ampiezza. La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°:
Poiché l'angolo di vertice O misura 60°
la somma degli angoli alla base è uguale a 120°
Dal momento che sono congruenti, ciascun angolo alla base è ampio 60°
e ciò implica che il triangolo di vertici O, P, A è un triangolo equilatero.
Ricordiamo ora che K è la proiezione ortogonale di P sull'asse delle ascisse, per cui
è un'altezza del triangolo.
In un triangolo equilatero l'altezza è anche mediana, dunque K è punto medio del segmento
, ossia lo divide in parti uguali
Il nostro obiettivo è calcolare la misura del segmento
, e possiamo farlo con il teorema di Pitagora
svolgiamo i calcoli sotto radice
e ci siamo! La misura del segmento
è il seno di 60 gradi, e ciò dimostra che il seno di 60 è uguale a radical tre mezzi
***
Concludiamo con il link alla tabella dei valori notevoli notevoli delle funzioni goniometriche, che consigliamo di avere sempre a portata di mano. ;)
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