Polinomio di terzo grado

Un polinomio di terzo grado è un polinomio di grado complessivo 3; in altre parole un polinomio si dice di terzo grado se il massimo grado dei monomi che formano il polinomio considerato è uguale a 3.

A scanso di equivoci ricordiamo che un polinomio è una qualsiasi somma algebrica di più monomi.

Ciò premesso, il grado di un polinomio (non nullo e ridotto in forma normale) è il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono. Il grado di un monomio è dato invece dalla somma degli esponenti delle lettere che ne formano la parte letterale.

Dalle precedenti definizioni segue che un polinomio di terzo grado è la somma algebrica di più monomi, di cui almeno uno è di grado 3, e gli altri di grado inferiore o al più uguale a 3.

Esempi di polinomi di terzo grado

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è un polinomio di terzo grado, in quanto il massimo dei gradi dei monomi che lo costituiscono è 3:

è di grado 3;

è di grado 2;

è di grado 1.

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è un altro polinomio di terzo grado. Osserviamo infatti che è formato dai monomi e , entrambi di grado 3, e dal monomio di grado 2.

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non è un polinomio di terzo grado, bensì un polinomio di secondo grado. Per giungere a questa conclusione basta osservare che è costituito da un monomio di grado 2 e da un monomio di grado 1.

Polinomio di terzo grado rispetto a una lettera

Il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il massimo grado dei monomi che costituiscono il polinomio rispetto alla lettera considerata, e non va confuso con il grado complessivo del polinomio.

Facciamo un esempio e consideriamo il polinomio

Calcoliamo il grado del polinomio rispetto alla lettera e quello rispetto alla lettera .

- Il grado del monomio rispetto alla lettera è 3, mentre il grado dello stesso monomio rispetto alla lettera è 1.

- Il grado del monomio rispetto alla lettera è 2, mentre il grado dello stesso monomio rispetto alla lettera è 3.

Da ciò deduciamo che è un polinomio di terzo grado rispetto alla lettera ed è anche un polinomio di terzo grado rispetto alla lettera , ma - attenzione - il suo grado complessivo è 5, e quindi non è un polinomio di terzo grado.

Scomposizione di un polinomio di terzo grado

Analizziamo le tecniche di scomposizione dei polinomi di terzo grado e vediamo un esempio per ciascuna di esse. Per la spiegazione dettagliata di ciascun metodo di scomposizione rimandiamo alle lezioni degli omonimi link, dove puoi leggere altri esempi.

• Raccoglimento totale

I monomi che formano il polinomio di terzo grado hanno in comune la lettera , per cui possiamo raccoglierla a fattor comune:

• Raccoglimento parziale

Abbiamo un polinomio di terzo grado dato dalla somma di quattro monomi che non hanno fattori numerici o letterali in comune. Possiamo però raccogliere il fattore comune tra i primi due termini

e il fattore comune tra gli ultimi due

In definitiva

ultimiamo la scomposizione raccogliendo a fattor comune

• Scomposizione con il cubo di binomio

Abbiamo un polinomio formato da quattro termini, di cui due sono cubi, e . Calcoliamone le basi

Il triplo prodotto del quadrato della prima base per la seconda è uguale al secondo termine del polinomio considerato

Il triplo prodotto della prima base per il quadrato della seconda è invece uguale al terzo termine del polinomio considerato

Da ciò deduciamo che il polinomio di partenza è lo sviluppo di un cubo di binomio, e si scompone nel modo seguente

• Scomposizione della somma di cubi

Il binomio da scomporre è un polinomio di terzo grado dato dalla somma di due cubi, e , e si scompone nel prodotto tra la somma delle basi e un trinomio formato dal quadrato della prima base, meno il prodotto delle basi, più il quadrato della seconda base.

Le basi dei cubi sono rispettivamente e , per cui

• Scomposizione della differenza di cubi

Questa volta abbiamo un polinomio di terzo grado formato dalla differenza di due cubi, e . Si scompone nel prodotto tra la differenza delle basi e un trinomio formato dal quadrato della prima base, più il prodotto delle basi, più il quadrato della seconda base.

Le basi dei cubi sono e rispettivamente, dunque

Scomposizione di un polinomio di terzo grado con una sola indeterminata

I polinomi di terzo grado più studiati e più ricorrenti negli esercizi sono quelli in una sola indeterminata, generalmente rappresentata dalla lettera .

Ne sono degli esempi:

Una volta ridotti alla forma normale, questi polinomi si presentano nella forma

con numeri reali e è diverso da zero.

Per scomporli si possono usare alcune delle tecniche di scomposizione elencate in precedenza, ma laddove dovessero fallire si può tentare di applicare la regola di Ruffini. Nella lezione del link abbiamo spiegato quando e come si usa, e puoi leggere svariati esempi. ;)

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È tutto! Per qualsiasi approfondimento ti rimandiamo alle lezioni sui polinomi - click!