Soluzioni
  • Un polinomio di secondo grado è un polinomio di grado complessivo 2; più esplicitamente un polinomio si dice di secondo grado quando il massimo grado dei monomi che costituiscono il polinomio considerato è uguale a 2.

    Per capire com'è fatto un polinomio di secondo grado basta ricordare come si definisce e come si calcola il grado di un polinomio.

    Il grado di un polinomio (ridotto in forma normale e non nullo) è il massimo dei gradi dei monomi che lo compongono. A sua volta il grado di un monomio è dato dalla somma degli esponenti delle lettere che ne costituiscono la parte letterale.

    Di conseguenza un polinomio di secondo grado è formato dalla somma algebrica di più monomi di cui almeno uno è di grado 2, e gli altri sono monomi di grado inferiore o al più uguale a 2.

    Esempi di polinomi di secondo grado

    3x^2+y+5 è un polinomio di secondo grado, in quanto il massimo dei gradi dei monomi che lo costituiscono è 2:

    3x^2 è di grado 2;

    y è di grado 1;

    5 è di grado 0.

    \frac{1}{3}xy+5z^2-8y è anch'esso un polinomio di secondo grado, perché 2 è il massimo dei gradi dei suoi monomi.

    2xy^2+3z^2-xy+1 non è un polinomio di secondo grado, bensì un polinomio di terzo grado. Osserviamo infatti che il monomio 2xy^2 ha grado 3.

    Polinomio di secondo grado rispetto a una lettera

    Il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il massimo dei gradi dei suoi monomi rispetto alla lettera considerata, e non va assolutamente confuso con il grado complessivo del polinomio.

    Per fissare le idee consideriamo il polinomio

    3x^2y+8xy^2

    e calcoliamo il grado del polinomio rispetto alla lettera x e quello rispetto alla lettera y.

    - Il grado del monomio 3x^2y rispetto alla lettera x è 2, mentre il grado dello stesso monomio rispetto alla lettera y è 1.

    - Il grado del monomio 8xy^2 rispetto alla lettera x è 1, mentre il grado dello stesso monomio rispetto alla lettera y è 2.

    Di conseguenza 3x^2y+8xy^2 è un polinomio di secondo grado rispetto alla lettera x ed è anche un polinomio di secondo grado rispetto alla lettera y, ma - attenzione - il suo grado complessivo è 3, e quindi non è un polinomio di secondo grado.

    Scomposizione di un polinomio di secondo grado

    Per scomporre un polinomio di secondo grado possiamo usare varie tecniche.

    Vediamo quali sono quelle più frequenti e proponiamo un esempio per ciascuna di esse; per la spiegazione dettagliata di ciascun metodo di scomposizione, e per ulteriori esempi, rimandiamo alle lezioni degli omonimi link.

    Raccoglimento totale

    10xy+8x^2-2xz

    I tre monomi che formano il polinomio di secondo grado hanno in comune il fattore numerico 2 e la lettera x, per cui possiamo raccogliere totalmente il monomio 2x:

    10xy+8x^2-2xz=2x(5y+4x-z)

    Raccoglimento parziale

    xy+y+x^2+x

    Il polinomio di secondo grado è formato da un numero pari di monomi che non hanno fattori numerici o letterali in comune. Osserviamo però che tra i primi due monomi possiamo raccogliere il fattore comune y

    xy+y=y(x+1)

    e che tra gli ultimi due monomi possiamo raccogliere il fattore comune x

    x^2+x=x(x+1)

    Di conseguenza

    xy+y+x^2+x=y(x+1)+x(x+1)=

    e non ci resta che raccogliere a fattor comune x+1

    =(x+1)(y+x)

    Scomposizione con il quadrato di binomio

    36x^2+12xy+y^2

    Siamo di fronte a un trinomio costituito da due quadrati, 36x^2 e y^2. Calcoliamone le basi

    \\ 36x^2 \ \to \ 6x \\ \\ y^2 \ \to \ y

    Il loro doppio prodotto è

    2 \cdot 6x \cdot y = 12xy

    e coincide con il termine restante del trinomio di partenza. Il trinomio considerato è dunque lo sviluppo di un quadrato di binomio, e si scompone nel modo seguente

    36x^2+12xy+y^2 = (6x+y)^2

    Scomposizione della differenza di quadrati

    16x^2-9z^2

    Il binomio da scomporre è un polinomio di secondo grado dato dalla differenza di due quadrati, 16x^2 e 9z^2, e si scompone nel prodotto tra la somma e la differenza delle basi dei due quadrati.

    Le basi dei due quadrati sono 4x e 3z rispettivamente, per cui

    16x^2-9z^2=(4x+3z)(4x-3z)

    Scomposizione con il quadrato di un trinomio

    4x^2+y^2+9z^2+4xy+12xz+6yz

    Il polinomio è formato da sei termini e i primi tre sono monomi quadratici preceduti dal segno +. Troviamone le basi

    \\ 4x^2 \ \to \ 2x \\ \\ y^2 \ \to \ y \\ \\ 9z^2 \ \to \ 3z

    e calcoliamo i doppi prodotti

    \\ 2 \cdot 2x \cdot y = 4xy \\ \\ 2 \cdot 2x \cdot 3z = 12xz \\ \\ 2 \cdot y \cdot 3z = 6yz

    Poiché essi coincidono con gli ultimi tre termini del polinomio di secondo grado di partenza, quest'ultimo è lo sviluppo di un quadrato di trinomio che si scompone nel modo seguente:

    4x^2+y^2+9z^2+4xy+12xz+6yz=(2x+y+3z)^2

    Scomposizione di un polinomio di secondo grado con una sola indeterminata

    Tra tutti i polinomi di secondo grado, quelli più ricorrenti alle scuole superiori sono i polinomi di secondo grado in una sola indeterminata, che generalmente si indica con la lettera x. Ne sono degli esempi:

    x^2+2x+1 \ \ ; \ \ 5x^2-7x+3-2x \\ \\ \sqrt{2}x^2+5x \ \ ; \ \ 8x^2+4

    Una volta ridotti alla forma normale, tali polinomi si presentano nella forma

    P(x)=ax^2+bx+c

    dove a,b,c sono numeri reali e a è diverso da zero.

    Oltre ad alcune delle tecniche di scomposizione viste in precedenza, per scomporre questo particolare tipo di polinomi si possono usare:

    • la formula del trinomio notevole con somma e prodotto

    x^2+bx+c=(x+a_1)(x+a_2)

    dove a_1, a_2 sono due numeri tali che:

    - la loro somma è uguale al coefficiente del termine di primo grado;

    - il loro prodotto è uguale al termine noto;

    \begin{cases}a_1+a_2=b \\ a_1a_2=c \end{cases}

    • La tecnica di scomposizione con le equazioni

    x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)

    dove x_1,x_2 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado associata al polinomio, ossia le soluzioni dell'equazione

    x^2+bx+c=0

    Anche qui facciamo un esempio e scomponiamo con entrambi i metodi il polinomio di secondo grado

    x^2+5x+6

    - Se scegliamo di usare la formule del trinomio notevole con somma e prodotto, dobbiamo cercare due numeri a_1,a_2 tali che

    \begin{cases}a_1+a_2=5 \\ a_1a_2=6 \end{cases}

    Evidentemente i numeri richiesti sono a_1=2 e a_2=3, per cui

    x^2+5x+6=(x+a_1)(x+a_2)=(x+2)(x+3)

    - Se optiamo per la tecnica di scomposizione con le equazioni dobbiamo trovare le soluzioni dell'equazione di secondo grado

    x^2+5x+6=0

    che sono

    x_1=-3 \ \ ; \ \ x_2=-2

    e quindi

    \\ x^2+5x+6=(x-x_1)(x-x_2)= \\ \\ =(x-(-3))(x-(-2))=(x+3)(x+2)

    ***

    Per ogni genere di approfondimento puoi leggere le lezioni dedicate ai polinomi, in cui ad esempio spieghiamo cos'è un polinomio, come si svolgono le operazioni tra polinomi, quali sono i possibili metodi di scomposizione e tante altre cose interessanti. ;)

    Risposta di Galois
 
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