Insieme derivato

Qual è la definizione di insieme derivato e, se possibile, mi potete spiegare che cos'è il derivato di un insieme, possibilmente con degli esempi?

In Uni - Analisi - Domanda di FAQ

Soluzioni

  • Il derivato di un insieme E, detto anche insieme derivato di E ed indicato con il simbolo D(E) o con il simbolo E', è l'insieme dei punti di accumulazione di E.

    Dato un insieme E, per trovarne l'insieme derivato D(E) ci basta individuare tutti i suoi punti di accumulazione.

    Esempi sull'insieme derivato

    1) Determiniamo l'insieme derivato dell'intervallo

    E=(-1,5)

    Ovviamente tutti i punti appartenenti all'intervallo E sono punti di accumulazione per E.

    D'altro canto anche gli estremi dell'intervallo, pur essendo esclusi da esso, ne sono punti di accumulazione.

    Possiamo allora concludere che il derivato dell'insieme A è dato da

    D(E)=[-1,5]

    2) Consideriamo ora l'insieme

    E=[2,7)\cup\{12\}

    Generalizzando il ragionamento dell'esempio precedente sappiamo che tutti i punti dell'insieme [2,7] sono punti di accumulazione per E.

    Il punto x=12 invece non è di accumulazione ed è in particolare un punto isolato.

    Possiamo quindi concludere che il derivato di E è

    D(E)=[2,7]

    3) Potrebbe anche accadere che il derivato di un insieme sia l'insieme vuoto.

    Consideriamo ad esempio l'insieme \mathbb{N}\subset\mathbb{R} dei numeri naturali, o anche l'insieme \mathbb{Z}\subset\mathbb{R} dei numeri relativi: nessun punto di tali insiemi è punto di accumulazione per essi, di conseguenza

    D(\mathbb{N})=D(\mathbb{Z})=\emptyset

    Più in generale, qualsiasi insieme discreto è caratterizzato dalla proprietà di avere come insieme derivato l'insieme vuoto, e ciò discende direttamente dalla definizione.

    Commento sulla definizione di insieme derivato

    Avendo ben presente la definizione di punto di accumulazione si capisce facilmente che il derivato di un insieme può essere in relazione con l'insieme stesso in diversi modi: può contenere l'insieme (come nell'esempio 1) o essere propriamente contenuto nell'insieme (come nell'esempio 2).

    ***

    La nozione di insieme derivato è utile per definire la nozione di chiusura di un insieme, ma non prima di aver studiato la definizione di insieme chiuso. ;)

    Risposta di Omega
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