Soluzioni
  • Il coseno di 45 gradi si indica con cos(45°), è uno dei valori fondamentali delle funzioni goniometriche e vale radical due mezzi (√2/2), o equivalentemente uno fratto radical due (1/√2).

    \cos(45^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

    Oltre ai gradi per esprimere la misura degli angoli si usa il radiante, soprattutto in Trigonometria.

    Applicando la formula di conversione da gradi a radianti si ottiene che 45° equivalgono a Pi Greco quarti radianti

    45^{\circ} \to \frac{\pi}{4}

    dunque il coseno di pigreco quarti è uguale al coseno di 45° e vale √2/2

    \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}

    Il coseno di 45 gradi, o il coseno di pigreco quarti che dir si voglia, è uno di quei pochi valori che conviene imparare a memoria se si vogliono svolgere velocemente gli esercizi, ma sappiamo bene che si tende a fare confusione, soprattutto all'inizio.

    C'è chi consiglia di scriverlo e riscriverlo più volte, finché non si memorizza, ma noi non lo riteniamo un buon metodo. Suggeriamo piuttosto di capire cosa indica e di imparare a calcolarne il valore. In questo modo saprai sempre cosa fare, anche quando la memoria dovesse tradirti. ;)

    Coseno di 45 gradi con la circonferenza goniometrica

    Disegniamo la circonferenza goniometrica. Partendo dal semiasse delle x positive, e procedendo in senso antiorario, tracciamo un angolo con vertice nell'origine e con un'ampiezza di 45°.

    Chiamiamo P il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza goniometrica, e troviamo le proiezioni ortogonali di P sugli assi cartesiani. Indichiamo:

    - con K la proiezione di P sull'asse delle ascisse;

    - con H la proiezione di P sull'asse delle ordinate.

     

    Cos-45

    Coseno di 45 gradi.

     

    Per definizione di coseno di un angolo, il coseno di 45 gradi è l'ascissa del punto P ed è uguale alla misura con segno del segmento OK, che in questo caso è positiva perché K si trova sul semiasse delle x positive

    \cos(45^{\circ})=x_P=\overline{OK}

    L'ordinata del punto P, ossia la misura con segno del segmento OH, è invece il seno di 45 gradi.

    Calcolo del coseno di 45 gradi

    In base a quanto scritto per calcolare il coseno di 45° basta determinare la lunghezza del segmento OK, e per farlo ci serviremo di alcune basilari proprietà dei triangoli.

    Consideriamo il triangolo di vertici O, P, K, e concentriamoci sui suoi angoli interni:

    \widehat{OKP} è un angolo retto, essendo K la proiezione ortogonale di P sull'asse x

    \widehat{OKP}=90^{\circ}

    • gli angoli \widehat{OPK} e \widehat{POK} hanno la stessa ampiezza

    \widehat{OPK}=\widehat{POK}=45^{\circ}

    Per capirlo basta ricordare che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°, per cui:

    \widehat{OPK} = 180^{\circ}-\widehat{OKP}-\widehat{POK}=\\ \\ =180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}

    Se un triangolo ha due angoli uguali allora è un triangolo isoscele, di conseguenza il triangolo di vertici O, P, K è un triangolo rettangolo isoscele di base OP.

    Da ciò segue che i lati PK e OK sono congruenti

    \overline{PK}=\overline{OK}

    e, per il teorema di Pitagora

    \overline{OK}^2+\overline{PK}^2=\overline{OP}^2

    Il segmento OP ha misura pari a 1 perché è un raggio della circonferenza goniometrica. Inoltre \overline{PK}=\overline{OK}, per cui abbiamo

    \overline{OK}^2+\overline{OK}^2=1

    ossia

    2 \cdot \overline{OK}^2=1

    e quindi

    \overline{OK}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

    Nell'ultimo passaggio abbiamo razionalizzato moltiplicando numeratore e denominatore per √2.

    Abbiamo finito! La lunghezza del segmento OK è il coseno di 45 gradi, per cui possiamo concludere che il coseno di 45° è uguale a uno fratto radical due

    \cos(45^{\circ})=\overline{OK}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

    ***

    Ci fermiamo qui. Per una tabella con tutti i valori notevoli delle funzioni goniometriche ti rimandiamo alla pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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