Soluzioni
  • La tangente di 30 gradi, che da qui in poi indicheremo con tan(30°), è uno dei valori notevoli delle funzioni goniometriche ed è uguale a uno su radical tre (1/√3), o equivalentemente a radical tre terzi (√3/3).

    \tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

    Oltre ai gradi un'altra unità di misura, usata soprattutto in Trigonometria, per esprimere l'ampiezza degli angoli è il radiante.

    Usando la formula di conversione da gradi a radianti si ottiene che 30° corrispondono a Pi Greco sesti radianti

    30^{\circ} \to \frac{\pi}{6}

    Di conseguenza la tangente di 30 gradi e la tangente di pigreco sesti indicano la tangente dello stesso angolo, ed entrambe valgono uno su radical tre oppure radical tre terzi

    \tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

    Calcolo della tangente di 30°

    Il valore della tangente di qualsiasi angolo non va assolutamente imparato a memoria perché si può ricavare piuttosto facilmente dai valori di seno e coseno dello stesso angolo.

    Dalla definizione di tangente è noto che la tangente di un angolo \alpha è uguale al rapporto tra il seno di \alpha e il coseno di \alpha

    \tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}, \ \ \ \forall \ \alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}, \ k \in \mathbb{Z}

    Se sostituiamo \alpha=30^{\circ} ricaviamo che la tangente di 30 gradi è uguale al rapporto tra il seno di 30 gradi e il coseno di 30 gradi

    \tan(30^{\circ})=\frac{\sin(30^{\circ})}{\cos(30^{\circ})}

    Il seno di 30° è uguale a 1/2, mentre il coseno di 30° è pari a √3/2

    \sin(30^{\circ})=\frac{1}{2} \ \ \ ; \ \ \ \cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Di conseguenza

    \tan(30^{\circ})=\frac{\sin(30^{\circ})}{\cos(30^{\circ})}=\frac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=

    Trasformiamo la frazione di frazioni in una moltiplicazione tra frazioni

    =\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}

    e ci siamo. Ciò conferma che la tangente di 30 gradi è uguale a uno fratto radical tre (1/√3), che volendo possiamo razionalizzare moltiplicando numeratore e denominatore per √3:

    \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

    In definitiva:

    \tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, a parte lasciarti il link al formulario sui valori notevoli delle funzioni goniometriche, che è sempre bene avere a portata di mano. ;)

    Risposta di Galois
 
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