Soluzioni
  • Esistono diverse strategie che consentono di risolvere il problema, alcune anche molto veloci. In questa circostanza ci atterremo a uno schema ben preciso, che se da un lato ha il vantaggio di essere generale (vale in qualsiasi occasione), dall'altro risulta scomodo dal punto di vista algebrico.

    Per prima cosa esprimiamo le rette in forma parametrica: nel caso in esame

    r:\ (x,y,z)=(-1,0,1)+(1,1,1)t \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    è già nella forma richiesta, mentre dobbiamo passare dalla rappresentazione cartesiana della retta s alle parametriche. Partiamo da:

    s:\ \begin{cases}x+z=-1\\ \\ x-y+z=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

    e isoliamo x al primo membro della prima equazione

    \begin{cases}x=-1-z\\ \\ x-y+z=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

    Sostituiamo x=-1-z nella seconda e svolgiamo i calcoli

    \begin{cases}x=-1-z\\ \\ (-1-z)-y+z=-\dfrac{1}{2}\end{cases}\ \to \ \begin{cases}x=-1-z\\ \\ y=-\dfrac{1}{2}\end{cases}

    Eleggiamo a parametro z ponendo z=t ricavando così la seguente parametrizzazione

    s:\ \begin{cases}x=-1-t\\ \\ y=-\dfrac{1}{2}\\ \\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    che in forma vettoriale diventa

    s:\ (x,y,z)=\left(-1,-\frac{1}{2},0\right)+t\left(-1,0,1\right)

    Dalle rappresentazioni parametriche di r,s deduciamo i punti

    \\ P_{r}(-1,0,1)\in r \\ \\ P_{s}\left(-1,-\frac{1}{2},0\right)\in s

    e due possibili vettori direttori per le rette:

    \\ \mathbf{v}_{r}=(l,m,n)=(1,1,1) \\ \\ \mathbf{v}_{s}=(l',m',n')=(-1,0,1)

    Costruiamo il vettore \overrightarrow{P_{r}P_s} avente per componenti la differenza tra le coordinate di P_{s} e quelle di P_{r}

    \\ \overrightarrow{P_{r}P_{s}}=(x_{P_s}-x_{P_r}, \ y_{P_s}-y_{P_r}, \ z_{P_s}-z_{P_r})= \\ \\ =\left(-1-(-1),\ -\frac{1}{2}-0,\ 0-1\right)=\left(0,-\frac{1}{2},-1\right)

    e consideriamo la matrice A aventi per righe

    \overrightarrow{P_{r}P_{s}},\mathbf{v}_{r},\mathbf{v}_{s}

    \\ A=\begin{pmatrix}x_{P_s}-x_{P_r}&y_{P_s}-y_{P_r}&z_{P_s}-z_{P_r}\\ l&m&n\\ l'&m'&n'\end{pmatrix}= \\ \\ \\ =\begin{pmatrix}0&-\frac{1}{2}&-1\\ 1&1&1\\ -1&0&1\end{pmatrix}

    In base al determinante della matrice A, possono verificarsi i seguenti casi:

    - se \mbox{det}(A)\ne 0, allora r,s sono rette sghembe e il problema finisce qui;

    - se \mbox{det}(A)=0, allora r,s sono rette complanari, in questo caso dovremo stabilire se sono incidenti o parallele.

    Calcoliamo il determinante di A, sviluppando lungo la prima colonna

    \\ \mbox{det}(A)=-1\cdot\mbox{det}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&-1\\ 0&1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\mbox{det}\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&-1\\ 1&1\end{pmatrix}=\\ \\ \\ =-1\cdot\left[-\frac{1}{2}-0\right]-\left[-\frac{1}{2}+1\right]=0

    Dalla nullità di \mbox{det}(A) segue immediatamente che le due rette sono complanari e, in quanto tali, possono essere o incidenti oppure parallele. Andiamo a fondo della questione prendendo in esame la matrice B avente per righe i vettori direttori \mathbf{v}_{r} e \mathbf{v}_{s}

    B=\begin{pmatrix}l&m&n\\ l'&m'&n'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\ -1&0&1\end{pmatrix}

    Indicato con \mbox{rk}(B) il rango di B, riportiamo le seguenti eventualità:

    - se \mbox{rk}(B)=1, allora r,s sono rette parallele;

    - se \mbox{rk}(B)=2, le due rette sono incidenti, e sarà nostra premura calcolare il punto di intersezione.

    In questa circostanza è davvero molto semplice calcolare il rango di B: basta osservare che è non nullo il determinante della sottomatrice di ordine 2, composta dalle prime due colonne di B

    \mbox{det}\begin{pmatrix}1&1\\ -1&0\end{pmatrix}=1\ne 0

    pertanto \mbox{rk}(B)=2 e r,s sono rette incidenti.

    Portiamo a termine il problema calcolando il punto di intersezione tra le rette. Impostiamo il sistema formato dalle loro equazioni

    \begin{cases}x=-1+t\\ y=t\\ z=1+t\\ x+z=-1\\ x-y+z=-\frac{1}{2}\end{cases}

    e risolviamolo in favore di t sostituendo

    x=-1+t, \ y=t \ \mbox{e} \ z=1+t

    nelle ultime due relazioni

    \\ \begin{cases}x=-1+t\\ y=t\\ z=1+t\\ -1+t+1+t=-1\\ -1+t-t+1+t=-\frac{1}{2}\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}x=-1+t\\ y=t\\ z=1+t\\ t=-\frac{1}{2}\\ t=-\frac{1}{2}\end{cases}

    da cui ricaviamo che t=-\frac{1}{2}: se sostituiamo questo valore nelle prime tre relazioni, otterremo le coordinate del punto di intersezione

    \\ x=-1+\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{2}\\ \\ \\ y=-\frac{1}{2} \\ \\ \\ z=1+\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}

    per cui:

    r\cap s=\left(-\frac{3}{2}, \ -\frac{1}{2}, \ \frac{1}{2}\right)

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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