Soluzioni
  • Il coseno di 30 gradi è uno dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, si indica con cos(30°) ed è uguale a radical tre mezzi (√3/2).

    \cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Oltre al grado, un'altra unità di misura degli angoli usata in Trigonometria è il radiante.

    Applicando la formula di conversione dei gradi in radianti si ottiene che 30° equivalgono a Pi Greco sesti radianti

    30^{\circ} \to \frac{\pi}{6}

    Di conseguenza il coseno di pigreco sesti e il coseno di 30 gradi sono esattamente la stessa cosa, ed entrambi valgono radical tre mezzi

    \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

    In generale si consiglia di memorizzarne il valore fin da subito, ma sappiamo bene che si tende a fare confusione, soprattutto quando si è iniziato da poco lo studio della Trigonometria. L'unica cosa che può aiutare è capire come si calcola, in modo da prendere confidenza con la circonferenza goniometrica e con la definizione di coseno.

    Coseno di 30° con la circonferenza goniometrica

    Disegniamo la circonferenza goniometrica, ossia la circonferenza centrata nell'origine del piano cartesiano e con raggio uguale a 1.

    Tracciamo un angolo di 30° con vertice nell'origine, con il primo lato coincidente con il semiasse delle ascisse positive e il secondo lato nel primo quadrante. Quest'ultimo lato interseca la circonferenza goniometrica in un punto, che chiamiamo P.

    Consideriamo poi le proiezioni ortogonali del punto P sugli assi cartesiani e indichiamo:

    - con H la proiezione di P sull'asse x;

    - con K la proiezione di P sull'asse y.

     

    Coseno-di-30-gradi

    Coseno di 30 gradi.

     

    Dalla definizione di coseno di un angolo segue che il coseno di 30° è l'ascissa del punto P, ed è uguale alla misura con segno del segmento OH, che in questo caso è positiva perché H è un punto del semiasse delle ascisse positive

    \cos(30^{\circ}) = x_P = \overline{OH}

    L'ordinata del punto P, ossia la misura con segno del segmento OK, è invece il seno di 30 gradi.

    Calcolo del coseno di 30°

    Da quanto osservato segue che per calcolare il coseno di 30 gradi basta calcolare la misura del segmento OH.

    Partiamo dalla precedente immagine e disegniamo un altro angolo di 30° con vertice nel centro della circonferenza, ma questa volta partiamo dal semiasse delle ascisse positive e procediamo in senso orario. Chiamiamo Q il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza goniometrica.

     

    Calcolo del coseno di 30°

    Calcolo del coseno di 30 gradi.

     

    Concentriamoci sul triangolo di vertici O, P, Q e osserviamo che i suoi lati OP e OQ hanno la stessa misura, infatti sono raggi della circonferenza goniometrica

    \overline{OP}=\overline{OQ}=1

    Da ciò segue che il triangolo di vertici O, P, Q è un triangolo isoscele di base PQ. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, per cui

    \widehat{OPQ}=\widehat{OQP}

    Calcoliamone l'ampiezza.

    La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180°

    \widehat{POQ}+\widehat{OPQ}+\widehat{OQP}=180^{\circ}

    e poiché l'angolo al vertice misura 60°

    \widehat{POQ}=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}

    abbiamo che la somma degli angoli alla base è uguale a 120°

    \widehat{OPQ}+\widehat{OQP}=180^{\circ}-\widehat{POQ}=\\ \\ =180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}

    Avendo già osservato che i due angoli alla base sono uguali possiamo affermare che ciascuno di assi è ampio 60°

    \widehat{OPQ}=\widehat{OQP}=60^{\circ}

    Di conseguenza il triangolo di vertici O, P, Q è un triangolo equilatero e ha i lati uguali

    \overline{OP}=\overline{OQ}=\overline{PQ}=1

    Consideriamo ora il segmento OH, che è bisettrice dell'angolo \widehat{POQ}.

    In un triangolo equilatero la bisettrice di un angolo interno è anche altezza e mediana, per cui il punto H divide il segmento PQ in parti uguali

    \overline{PH}=\frac{\overline{PQ}}{2}=\frac{1}{2}

    Il nostro obiettivo è calcolare la misura del segmento OH, e a questo punto possiamo farlo con il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo di vertici P, O, H, di cui conosciamo la misura dell'ipotenusa

    \overline{OP}=1

    e quella di un cateto

    \overline{PH}=\frac{1}{2}

    In definitiva

    \\ \overline{OH}=\sqrt{\overline{OP}^2 - \overline{PH}^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2}= \\ \\ \\ = \sqrt{1-\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Ci siamo! La misura del segmento OH è il coseno di 30 gradi, e ciò dimostra che il coseno di 30° è uguale a √3/2

    \cos(30^{\circ})=\overline{OH}=\frac{\sqrt{3}}{2}

    ***

    Non abbiamo altro da aggiungere, a parte consigliarti di consultare la tabella con tutti i valori notevoli delle funzioni goniometriche - click!

    Risposta di Galois
 
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