Permutazioni circolari

Una permutazione circolare è una permutazione di elementi diversi tra loro in cui non è possibile distinguere tra il primo e l'ultimo elemento; in altri termini una permutazione circolare è il risultato di uno scambio dell'ordine di elementi distinti disposti in modo circolare.

Le permutazioni circolari sono un particolare tipo di permutazioni semplici, ed entrano in gioco quando gli elementi di cui vogliamo calcolare il numero di permutazioni sono disposti circolarmente.

Differenza tra permutazioni circolari e permutazioni semplici

Qual è la differenza tra le permutazioni circolari e le permutazioni semplici?

Dati elementi distinti, sappiamo che il numero di permutazioni semplici è dato da

Sempre con riferimento ai suddetti elementi distinti, il numero delle permutazioni circolari  è dato da

Come mai nella formula delle permutazioni circolari si considera un elemento in meno? Il motivo è presto detto. Abbiamo anticipato che si utilizzano le permutazioni circolari quando gli elementi sono disposti in modo circolare, ossia quando non è possibile individuare il primo e l'ultimo elemento.

Ragioniamo con riferimento a un esempio. In quanti modi 3 persone si possono sedere dallo stesso lato di una tavolata rettangolare avente 3 posti? E in quanti modi si possono sedere attorno a un tavolo rotondo con 3 sedie?

Chiamiamo le tre persone Alberto, Barbara e Carlo, e indichiamole con A, B e C.

Riportiamo il tutto graficamente: da una parte rappresentiamo i possibili modi con cui A, B e C possono sedersi sullo stesso lato della tavolata rettangolare; dall'altra rappresentiamo i modi individuati in precedenza, immaginando che il tavolo sia rotondo e procedendo in senso orario.

Esempio di permutazione circolare.

Lungo la tavolata con 3 posti, come ci aspettavamo, Alberto, Barbara e Carlo si possono sedere in un numero di modi dati dalle permutazioni semplici di 3 elementi:

A prima vista sembrerebbe che si possano sedere in 6 modi anche attorno al tavolo rotondo. In questo caso però, non essendo specificata la posizione, le tavolate 1, 4, 5 e le tavolate 2, 3, 6 da un punto di vista dell'ordine sono identiche.

Per rendersene conto basta fissare l'attenzione su una delle tre persone, ad esempio Alberto.

Nelle tavolate 1, 4 e 5 Alberto ha sempre alla sua destra Carlo ed alla sua sinistra Barbara; nelle tavolate 2, 3 e 6 Alberto ha sempre alla sua destra Barbara ed alla sua sinistra Carlo.

In sintesi le posizioni da contare sono solo 2, e in accordo con la formula per le permutazioni circolari:

In conclusione si ricorre alle permutazioni circolari quando gli elementi di cui vogliamo calcolare le permutazioni sono disposti in modo circolare, ossia quando la prima e l'ultima posizione sono indistinguibili.

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