Soluzioni
  • Il seno di 120 gradi è uguale a radical tre mezzi (√3/2). Si può calcolare con le formule sugli archi associati oppure usando le formule di addizione e sottrazione del seno o, ancora, utilizzando la formula di duplicazione del seno.

    \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Prima di spiegare come si procede è bene precisare che in Trigonometria si preferisce esprimere gli angoli in radianti, anziché in gradi.

    Con la formula di conversione dei gradi in radianti otteniamo che 120 gradi equivalgono a due terzi Pi Greco radianti

    120^{\circ} \to \frac{2}{3} \pi

    Da ciò deduciamo che calcolare il seno di 120 gradi oppure il seno di due terzi pigreco è esattamente la stessa cosa, per cui anche il seno di due terzi pigreco vale radical tre mezzi

    \sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)=\sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Calcolo del seno di 120° con le formule sugli archi associati

    Dalle formule degli angoli associati è noto che:

    \sin\left(90^{\circ} + \alpha\right) = \cos(\alpha)

    Usiamola per calcolare il seno di 120°. Scriviamo 120° come somma tra 90° e 30°

    120^{\circ}=90^{\circ}+30^{\circ}

    e applichiamo la precedente formula sostituendo \alpha=30^\circ e ricordando che il coseno di 30 gradi è uguale a radical tre mezzi:

    \sin(120^{\circ}) = \sin\left(90^{\circ} + 30^{\circ}\right) = \\ \\ =\cos(30^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    Abbiamo così ricavato il valore del seno di 120 gradi

    \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Un altro modo di procedere è quello di scrivere 120° come differenza tra 180° e 60°

    120^{\circ}=180^{\circ}-60^{\circ}

    e quindi usare la seguente formula sugli archi associati

    \sin\left(180^{\circ} - \alpha\right) = \sin(\alpha)

    In questo caso dopo aver applicato la formula ci basta ricordare che il seno di 60 gradi è uguale a √3/2

    \sin(120^{\circ}) = \sin\left(180^{\circ} - 60^{\circ}\right) = \\ \\ =\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

    In definitiva, quale che sia la formula scelta, ricaviamo che il seno di 120 gradi è uguale alla radice di tre fratto due

    \sin(120^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Calcolo del seno di 120° con la formula di addizione del seno

    Se non si ricordano le formule sugli angoli associati si può calcolare il seno di 120° con la formula di addizione del seno:

    \sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)

    La scelta più furba è quella di scrivere 120° come somma tra 90° e 30°

    120^{\circ} = 90^{\circ} + 30^{\circ}

    e fare intervenire la formula sul seno della somma, in cui sostituiamo \alpha con 90° e \beta con 30°

    \\ \sin(120^{\circ}) = \sin(90^{\circ}+30^{\circ}) = \\ \\ = \sin(90^{\circ})\cos(30^{\circ}) + \cos(90^{\circ})\sin(30^{\circ})=

    Ci siamo così ricondotti a un'espressione che contiene solo valori notevoli delle funzioni goniometriche, che si dovrebbero ricordare a memoria

    =1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Calcolo del seno di 120° con la formula di sottrazione del seno

    In alternativa possiamo scrivere 120° come differenza tra 180° e 60°

    120^{\circ} = 180^{\circ} - 60^{\circ}

    e usare la formula di sottrazione del seno

    \sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) - \cos(\alpha)\sin(\beta)

    in cui sostituiamo \alpha con 180° e \beta con 60°

    \\ \sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ}-60^{\circ}) = \\ \\ = \sin(180^{\circ})\cos(60^{\circ}) - \cos(180^{\circ})\sin(60^{\circ})= \\ \\ = 0 \cdot \frac{1}{2} - (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Calcolo del seno di 120° con la formula di duplicazione del seno

    L'ultimo metodo che proponiamo si basa sull'utilizzo della formula di duplicazione del seno

    \sin(2 \alpha) = 2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)

    Poiché

    120^{\circ} = 2 \cdot 60^{\circ}

    nella formula di duplicazione sostituiamo \alpha con 60°

    \\ \sin(120^{\circ}) = \sin(2 \cdot 60^{\circ}) = 2 \sin(60^{\circ})\cos(60^{\circ}) = \\ \\ = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    Ancora una volta abbiamo ottenuto che il seno di 120° è pari alla radice di tre fratto due.

    ***

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