Soluzioni
  • L'Hessiana di una funzione reale di più variabili reali è una matrice quadrata i cui elementi sono le derivate parziali seconde della funzione f.

    Data cioè una funzione reale di più variabili reali:

    f: \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}

    definita in un sottoinsieme \Omega \ \mbox{di} \ \mathbb{R}^n e che ammetta derivate parziali almeno fino all'ordine 2 in tale sottoinsieme, possiamo costruire la matrice Hessiana ad essa associata che è data da

    H_f(\mathbf{x})=\left[\begin{matrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(\mathbf{x}) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}(\mathbf{x}) \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(\mathbf{x}) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}(\mathbf{x}) \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1}(\mathbf{x}) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2}(\mathbf{x}) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(\mathbf{x}) \end{matrix}\right]

    dove

    \mathbf{x}=(x_1,x_2,...,x_n) \in \Omega

    \forall \ i,j \in \{1,2,...,n\}: \ \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial f}{\partial x_j}\right]

    ovvero è un modo compatto per indicare la derivata parziale rispetto ad xi della derivata parziale di f rispetto a xj.

    Sembra complicato ma in realtà è molto semplice. Quella appena scritta è infatti la definizione generale di matrice Hessiana ma, negli esercizi, si ha a che fare con funzioni di due o al più tre variabili. In tal caso possiamo riscrivere la matrice Hessiana nei modi seguenti:

    - per le funzioni di due variabili:

    H_f(x,y)=\left[\begin{matrix}f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{matrix}\right]

    - per le funzioni di tre variabili:

    H_f(x,y,z)=\left[\begin{matrix}f_{xx}(x,y,z) & f_{xy}(x,y,z) & f_{xz}(x,y,z) \\ f_{yx}(x,y,z) & f_{yy}(x,y,z) & f_{yz}(x,y,z) \\ f_{zx}(x,y,z) & f_{zy}(x,y,z) & f_{zz}(x,y,z)\end{matrix}\right]

    dove con fxx sta ad indicare la derivata parziale seconda rispetto alla variabile x, fxy la derivata parziale rispetto ad y della derivata parziale rispetto ad x, fyz la derivata parziale rispetto a z della derivata parziale rispetto ad y, e così via per le altre.

    Per costruire la matrice Hessiana basta quindi solo avere ben chiaro come calcolare le derivate parziali. In caso di dubbi ti basta un click sul link precedente.

     

    Vediamo ora un esempio sul calcolo della matrice Hessiana.

    Consideriamo la seguente funzione reale di due variabili reali

    f(x,y)=3x^2y+2xy^2+7y^3

    e proponiamoci di costruire la matrice Hessiana ad essa associata. Innanzitutto osserviamo che la funzione è definita su tutto \mathbb{R}^2 ed è addirittura di classe C^{\infty} dunque siamo sicuri dell'esistenza delle derivate parziali seconde.

    Iniziamo con il calcolo delle derivate parziali prime rispetto ad x e y:

    f_x(x,y) = 6xy+2y^2

    f_y(x,y) = 3x^2+4xy+21y^2

    per poi passare al calcolo delle derivate seconde:

    f_{xx}(x,y) = 6y

    f_{xy}(x,y) = 6x+4y

    f_{yy}(x,y) = 4x+42y

    f_{yx}(x,y) = 6x+4y

    La matrice Hessiana associata alla nostra funzione sarà

    H_f(x,y)=\left[\begin{matrix}f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y) \\ f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y)\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}6y & 6x+4y \\ 6x+4y & 4x+42y\end{matrix}\right]

     

    Ora, osserva la matrice Hessiana appena ottenuta. Come puoi vedere è una matrice simmetrica e, questo, non è un caso. Infatti, se tutte le derivate seconde di una funzione f (reale di più variabili reali) sono continue in una regione Ω allora, in tale regione, le derivate seconde miste coincidono e, di conseguenza, l'Hessiana è una matrice simmetrica. Tutto questo è assicurato dal teorema di Schwartz ed è utile per due aspetti:

    1) ci permette di risparmiare il calcolo di alcune derivate parziali seconde miste (non male se si ha poco tempo ;) )

    2) può essere uno strumento di verifica di calcolo. Se infatti, supposto che fxy sia continua e, andando a calcolare fyx troviamo qualcosa di diverso da fxy vuol dire che abbiamo sbagliato qualcosa.

     

    La matrice Hessiana gioca un ruolo da protagonista nel calcolo dei massimi e minimi di una funzione reale di più variabili reali, ragion per cui, ti saluto consigliandoti una lettura: massimi e minimi in due variabili - click! ;)

    Risposta di Omega
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