Soluzioni
  • Per trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale

    V=\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x+ky-2t=kx+y+kz-kt=(k^2-1)y-kz-t=0\}

    al variare di k \in \mathbb{R}, è sufficiente calcolare la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni del sottospazio, che è il seguente sistema lineare parametrico:

    \begin{cases}x+ky-2t=0 \\ kx+y+kz-kt= 0 \\ (k^2-1)y-kz-t=0 \end{cases}

    Scriviamo la matrice dei coefficienti associata

    A=\begin{pmatrix}1 & k & 0 & -2 \\ k & 1 & k & -k \\ 0 & k^2-1 & -k & -1\end{pmatrix}

    e calcoliamone il rango con il metodo di eliminazione di Gauss.

    Sostituiamo la seconda riga di A con la somma tra la prima riga moltiplicata per -k e la seconda

    \\ R_2 \ \to \ -kR_1+R_2 = \\ \\ = \begin{pmatrix}-k & -k^2 & 0 & 2k\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}k & 1 & k & -k\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 1-k^2 & k & k\end{pmatrix}

    così da ottenere

    A'=\begin{pmatrix}1 & k & 0 & -2 \\ 0 & 1-k^2 & k & k \\ 0 & k^2-1 & -k & -1\end{pmatrix}

    Ultimiamo la riduzione a scala sostituendo la terza riga di A' con la somma tra la seconda e la terza

    \\ R_3 \ \to \ R_2+R_3 = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 1-k^2 & k & k\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0 & k^2-1 & -k & -1\end{pmatrix} = \\ \\ = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & k-1\end{pmatrix}

    La matrice risultante è la matrice a gradini

    A''=\begin{pmatrix}1 & k & 0 & -2 \\ 0 & 1-k^2 & k & k \\ 0 & 0 & 0 & k-1\end{pmatrix}

    Se k \neq \pm 1 i pivot di A'' sono

    a''_{11}=1 \ \ ; \ \ a''_{22}=1-k^2 \ \ ; \ \ a''_{34}=k-1

    dunque il rango di A è 3.

    Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette \infty^{n-\mbox{rk}(A)}=\infty^{4-3}=\infty^1 soluzioni, dove n=4 è il numero di incognite.

    Per calcolarle consideriamo il sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti è A'' e assegniamo il ruolo di parametro libero all'incognita z, che è quella che non corrisponde ai pivot

    \begin{cases}x+ky-2t=0 \\ (1-k^2)y+kz+kt=0 \\ (k-1)t =0 \\ z=a\end{cases} \ \ \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

    Dalla terza equazione abbiamo che t=0. Sostituiamolo nella prima e nella seconda insieme a z=a

    \begin{cases}x+ky=0 \\ (1-k^2)y+ka=0 \\ t =0 \\ z=a\end{cases}

    Ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima

    \begin{cases}x=-ky=\dfrac{k^2a}{1-k^2} \\ \\ y=\dfrac{-ka}{1-k^2} \\ \\ t =0 \\ \\ z=a\end{cases}

    Le \infty^1 soluzioni sono

    \\ (x,y,z,t)=\left(\frac{k^2a}{1-k^2}, \ \frac{-ka}{1-k^2}, \ a, \ 0\right) = \\ \\ \\ = a \left(\frac{k^2}{1-k^2}, \ \frac{-k}{1-k^2}, \ 1, \ 0\right) \ \ \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

    di conseguenza, per k \neq \pm 1 una base di V è

    \mathcal{B}_{V}=\left\{\left(\frac{k^2}{1-k^2}, \ \frac{-k}{1-k^2}, \ 1, \ 0\right)\right\}

    e la sua dimensione è 1.

    Studiamo separatamente i casi k=1 e k=-1

    Dimensione e base di V per k=1

    Quando k=1 il sottospazio V è così definito

    V_1=\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x+y-2t=x+y+z-t=-z-t=0\}

    dunque dobbiamo calcolare la dimensione e una base per lo spazio delle soluzioni del sistema

    \begin{cases}x+y-2t=0 \\ x+y+z-t=0 \\ -z-t=0\end{cases}

    La matrice dei coefficienti è

    A_{k=1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -1\end{pmatrix}

    e la rispettiva matrice ridotta è

    A''_{k=1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

    cosicché il rango di A_{k=1} è uguale a 2 e il sistema ammette \infty^{4-2}=\infty^2 soluzioni.

    Consideriamo il sistema omogeneo che ha come matrice associata A''_{k=1}

    \begin{cases}x+y-2t=0 \\ z+t=0 \end{cases}

    e calcoliamone le soluzioni assegnando alle incognite y e t il ruolo di parametro libero

    \begin{cases}x+y-2t=0 \\ z+t=0 \\ y=a \\ t=b\end{cases} \ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

    Con le dovute sostituzioni otteniamo

    \begin{cases}x=-y+2t=-a+2b \\ z=-t = -b \\ y=a \\ t=b\end{cases}

    di conseguenza le soluzioni sono

    \\ (x,y,z,t) = (-a+2b, \ a, \ -b, \ b) = \\ \\ = a(-1,1,0,0) + b(2,0,-1,1) \ \ \mbox{ con } a,b \in \mathbb{R}

    Una base di V_1 è, allora:

    \mathcal{B}_{V_1}=\{(-1,1,0,0), \ (2,0,-1,1)\}

    e la sua dimensione è 2.

    Dimensione e base di V per k=-1

    Il sottospazio V_{-1} è

    V_{-1}=\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4 \ | \ x-y-2t=-x+y-z+t=z-t=0\}

    La matrice dei coefficienti associata al sistema formato dalle equazioni di V_{-1} è

    A_{k=-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -2 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}

    a cui corrisponde la matrice a scala

    A''_{k=-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -2\end{pmatrix}

    che ha tre pivot.

    Il rango di A_{k=-1} è, dunque, uguale a 3 e il sistema ammette \infty^{4-3}=\infty^1 soluzioni.

    Per calcolarle consideriamo il sistema omogeneo che ha come matrice associata A''_{k=-1} a assegniamo a y il ruolo di parametro libero

    \begin{cases}x-y-2t=0 \\ -z-t=0 \\ -2t=0 \\ y=a\end{cases} \ \ \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

    Dopo qualche semplice sostituzione ricaviamo che il sistema è soddisfatto da

    (x,y,z,t) = (a,a,0,0) = a(1,1,0,0) \ \ \mbox{ con } a \in \mathbb{R}

    pertanto una base di V_{-1} è

    \mathcal{B}_{V_{-1}}=\{(1,1,0,0)\}

    e la sua dimensione è 1.

    Abbiamo terminato!

    Risposta di Galois
 
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