Sottospazio vettoriale di un sistema lineare con parametro

Question

Come si calcolano la dimensione e una base di un sottospazio definito da equazioni parametriche? Ho sempre risolto senza problemi gli esercizi di questo tipo, ma questa volta sono davvero in difficoltà a causa della presenza del parametro. Determinare, al variare di k ∈ R, la dimensione e una base del seguente sottospazio vettoriale di R^4 definito da equazioni lineari omogenee e parametriche V = (x, y, z, t) ∈ R^4 | x+ky-2t = kx+y+kz-kt = (k^2-1)y-kz-t = 0

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Per trovare la dimensione e una base del sottospazio vettoriale V = (x, y, z, t) ∈ R^4 | x+ky-2t = kx+y+kz-kt = (k^2-1)y-kz-t = 0 al variare di k ∈ R, è sufficiente calcolare la dimensione e una base dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo formato dalle equazioni del sottospazio, che è il seguente sistema lineare parametrico: x+ky-2t = 0 ; kx+y+kz-kt = 0 ; (k^2-1)y-kz-t = 0 Scriviamo la matrice dei coefficienti associata A = [1 k 0 -2 ; k 1 k -k ; 0 k^2-1 -k -1] e calcoliamone il rango con il metodo di eliminazione di Gauss. Sostituiamo la seconda riga di A con la somma tra la prima riga moltiplicata per-k e la seconda ; R_2 → -kR_1+R_2 = [-k -k^2 0 2k]+[k 1 k -k] = [0 1-k^2 k k] così da ottenere A' = [1 k 0 -2 ; 0 1-k^2 k k ; 0 k^2-1 -k -1] Ultimiamo la riduzione a scala sostituendo la terza riga di A' con la somma tra la seconda e la terza ; R_3 → R_2+R_3 = [0 1-k^2 k k]+[0 k^2-1 -k -1] = [0 0 0 k-1] La matrice risultante è la matrice a gradini A'' = [1 k 0 -2 ; 0 1-k^2 k k ; 0 0 0 k-1] Se k ≠±1 i pivot di A'' sono a''_(11) = 1 ; a''_(22) = 1-k^2 ; a''_(34) = k-1 dunque il rango di A è 3. Per il teorema di Rouché Capelli il sistema ammette ∞^(n-rk(A)) = ∞^(4-3) = ∞^1 soluzioni, dove n = 4 è il numero di incognite. Per calcolarle consideriamo il sistema omogeneo la cui matrice dei coefficienti è A'' e assegniamo il ruolo di parametro libero all'incognita z, che è quella che non corrisponde ai pivot x+ky-2t = 0 ; (1-k^2)y+kz+kt = 0 ; (k-1)t = 0 ; z = a con a ∈ R Dalla terza equazione abbiamo che t = 0. Sostituiamolo nella prima e nella seconda insieme a z = a x+ky = 0 ; (1-k^2)y+ka = 0 ; t = 0 ; z = a Ricaviamo y dalla seconda equazione e sostituiamo nella prima x = -ky = (k^2a)/(1-k^2) ; y = (-ka)/(1-k^2) ; t = 0 ; z = a Le ∞^1 soluzioni sono ; (x,y,z,t) = ((k^2a)/(1-k^2), (-ka)/(1-k^2), a, 0) = a ((k^2)/(1-k^2), (-k)/(1-k^2), 1, 0) con a ∈ R di conseguenza, per k ≠±1 una base di V è mathcalB_(V) = ((k^2)/(1-k^2), (-k)/(1-k^2), 1, 0) e la sua dimensione è 1. Studiamo separatamente i casi k = 1 e k = -1 Dimensione e base di V per k = 1 Quando k = 1 il sottospazio V è così definito V_1 = (x, y, z, t) ∈ R^4 | x+y-2t = x+y+z-t = -z-t = 0 dunque dobbiamo calcolare la dimensione e una base per lo spazio delle soluzioni del sistema x+y-2t = 0 ; x+y+z-t = 0 ;-z-t = 0 La matrice dei coefficienti è A_(k = 1) = [1 1 0 -2 ; 1 1 1 -1 ; 0 0 -1 -1] e la rispettiva matrice ridotta è A''_(k = 1) = [1 1 0 -2 ; 0 0 1 1 ; 0 0 0 0] cosicché il rango di A_(k = 1) è uguale a 2 e il sistema ammette ∞^(4-2) = ∞^2 soluzioni. Consideriamo il sistema omogeneo che ha come matrice associata A''_(k = 1) x+y-2t = 0 ; z+t = 0 e calcoliamone le soluzioni assegnando alle incognite y e t il ruolo di parametro libero x+y-2t = 0 ; z+t = 0 ; y = a ; t = b con a,b ∈ R Con le dovute sostituzioni otteniamo x = -y+2t = -a+2b ; z = -t = -b ; y = a ; t = b di conseguenza le soluzioni sono ; (x,y,z,t) = (-a+2b, a, -b, b) = a(-1,1,0,0)+b(2,0,-1,1) con a,b ∈ R Una base di V_1 è, allora: mathcalB_(V_1) = (-1,1,0,0), (2,0,-1,1) e la sua dimensione è 2. Dimensione e base di V per k = -1 Il sottospazio V_(-1) è V_(-1) = (x, y, z, t) ∈ R^4 | x-y-2t = -x+y-z+t = z-t = 0 La matrice dei coefficienti associata al sistema formato dalle equazioni di V_(-1) è A_(k = -1) = [1 -1 0 -2 ;-1 1 -1 1 ; 0 0 1 -1] a cui corrisponde la matrice a scala A''_(k = -1) = [1 -1 0 -2 ; 0 0 -1 -1 ; 0 0 0 -2] che ha tre pivot. Il rango di A_(k = -1) è, dunque, uguale a 3 e il sistema ammette ∞^(4-3) = ∞^1 soluzioni. Per calcolarle consideriamo il sistema omogeneo che ha come matrice associata A''_(k = -1) a assegniamo a y il ruolo di parametro libero x-y-2t = 0 ;-z-t = 0 ;-2t = 0 ; y = a con a ∈ R Dopo qualche semplice sostituzione ricaviamo che il sistema è soddisfatto da (x,y,z,t) = (a,a,0,0) = a(1,1,0,0) con a ∈ R pertanto una base di V_(-1) è mathcalB_(V_(-1)) = (1,1,0,0) e la sua dimensione è 1. Abbiamo terminato!