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  • La bisettrice di un angolo si definisce come la semiretta, con origine nel vertice dell'angolo, che lo divide in due parti uguali:

     

    Bisettrice di un angolo

    Bisettrice di un angolo.

     

    Ciascun angolo, indipendentemente che sia un angolo concavo o angolo convesso, ammette un'unica bisettrice.

    Possiamo inoltre fornire una definizione equivalente di bisettrice di un angolo come il luogo geometrico dei punti del piano aventi la stessa distanza dai due lati dell'angolo.

     

    Bisettrice come luogo geometrico

    Bisettrice come luogo dei punti equidistanti dai lati dell'angolo.

     

    Equivalenza delle due definizioni di bisettrice

    Le due definizioni sono equivalenti e per dimostrarlo basta provare che:

    1) se prendiamo un punto P, sulla semiretta che divide in parti uguali l'angolo, e \overline{PA} e \overline{PB} sono le distanze di P dai due lati dell'angolo, allora PA e PB sono due segmenti congruenti;

    2) se per ogni punto P (interno all'angolo considerato) della semiretta risulta che la sua distanza dai due lati è uguale (ossia \overline{PA}=\overline{PB}), allora la semiretta divide l'angolo in parti uguali.

    Dimostrazione

    1) Dimostriamo che i punti della bisettrice, intesa come semiretta che divide in due parti uguali l'angolo, sono equidistanti dai lati; in altri termini, che la prima definizione implica la seconda.

    Basta considerare i due triangoli rettangoli AOP e BOP e far vedere che sono congruenti per il secondo criterio di congruenza generalizzato. Essi infatti hanno:

    - i due angoli retti (per definizione di distanza) uguali;

    - il lato OP in comune;

    - gli angoli P\hat{O}B e P\hat{O}A congruenti, per definizione di bisettrice.

    Essendo i due triangoli congruenti saranno tali anche i segmenti PA e PB.

    2) Dimostriamo che la bisettrice, intesa come semiretta dei punti equidistanti dai lati dell'angolo, divide l'angolo in parti uguali; in altri termini, che la seconda definizione implica la prima.

    Prendiamo un punto P tale che sia \overline{PA}=\overline{PB} (con PA e PB i segmenti distanza di P dai due lati dell'angolo) e consideriamo sempre i due triangoli rettangoli OAP e ABP.

    Essi, questa volta, sono congruenti per il terzo criterio, ragion per cui saranno uguali anche i due angoli P\hat{O}B e P\hat{O}A, potendo così concludere che la semiretta per i punti O e P è bisettrice dell'angolo.

    In definitiva, poiché la prima definizione implica la seconda e la seconda implica la prima, possiamo concludere che esse sono equivalenti.

    ***

    Se ti serve sapere come trovare l'equazione delle bisettrici degli angoli formati da due rette - click! ;)

    Risposta di Omega
 
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