Asse di un segmento

L'asse di un segmento AB è la retta r passante per il punto medio M del segmento e perpendicolare ad esso; in modo equivalente, l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento condotta per il suo punto medio.

Cos'è l'asse di un segmento

Consideriamo un segmento di estremi e e determiniamone il punto medio , ossia il punto appartenente al segmento ed equidistante dai suoi estremi.

La retta che passa per il punto e che forma un angolo retto con il segmento è l'asse di .

Proprietà dell'asse di un segmento

1) L'asse di un segmento è asse di simmetria per esso, quindi i due estremi si corrispondono in una simmetria assiale.

2) Gli assi dei segmenti che definiscono i lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, che è uno dei punti notevoli del triangolo e coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

3) Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno al poligono che è il centro della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta.

Asse di un segmento come luogo geometrico

Enunciamo un importante teorema della Geometria Euclidea che esprime una proprietà degli assi dei segmenti: l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento stesso.

Dimostrazione

Indichiamo con e gli estremi del segmento e sia il suo asse.

Stando alla definizione di luogo geometrico dobbiamo dimostrare che:

1) per ogni punto dell'asse si ha

2) se è un punto del piano tale che , il punto appartiene all'asse.

Partiamo dalla dimostrazione del punto 1).

Sia un punto qualsiasi della retta asse del segmento . Dobbiamo dimostrare che . Per fissare le idee facciamo un disegno:

Consideriamo i triangoli di vertici e , che sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, infatti:

, essendo punto medio di

, in quanto è perpendicolare ad

il lato è in comune.

Saranno allora congruenti anche i lati e , ossia

Ciò conclude la dimostrazione di 1) e possiamo passare al punto 2).

Sia un punto qualsiasi del piano tale che .

Il triangolo di vertici è un triangolo isoscele di base , e in quanto tale mediana e altezza ad essa relative coincidono.

Ne segue che la retta passante per i punti e , essendo mediana e altezza, interseca il segmento nel suo punto medio ed è ad esso perpendicolare, ossia è asse del segmento e il punto , ovviamente, vi appartiene.

Equazione dell'asse di un segmento

L'equazione dell'asse di un segmento non verticale, dunque di estremi e con , si può determinare con la seguente formula:

dove è il punto medio del segmento e è il coefficiente angolare della retta passante per i punti e .

Nel caso di un segmento verticale , dunque di estremi e con , l'asse sarà orizzontale e sarà individuato dall'equazione

Esempio

Determinare l'equazione dell'asse del segmento di estremi e .

Svolgimento: calcoliamo le coordinate cartesiane del punto medio di

e troviamo il coefficiente angolare della retta passante per i punti e

Sostituiamo i valori trovati nella formula dell'asse del segmento

Svolgendo i conti e portando tutto a primo membro si ricava l'equazione in forma implicita della retta asse del segmento

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Per tutti gli approfondimenti del caso e per leggere altri esempi vi rimandiamo alla pagina: equazione dell'asse di un segmento - click!