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  • L'asse di un segmento AB è la retta r passante per il punto medio M del segmento e perpendicolare ad esso; in modo equivalente, l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento condotta per il suo punto medio.

    Cos'è l'asse di un segmento

    Consideriamo un segmento di estremi A e B e determiniamone il punto medio M, ossia il punto appartenente al segmento ed equidistante dai suoi estremi.

    La retta r che passa per il punto M e che forma un angolo retto con il segmento è l'asse di AB.

     

    Asse di un segmento

     

    Proprietà dell'asse di un segmento

    1) L'asse di un segmento è asse di simmetria per esso, quindi i due estremi si corrispondono in una simmetria assiale.

    2) Gli assi dei segmenti che definiscono i lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, che è uno dei punti notevoli del triangolo e coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

    3) Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno al poligono che è il centro della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta.

    Asse di un segmento come luogo geometrico

    Enunciamo un importante teorema della Geometria Euclidea che esprime una proprietà degli assi dei segmenti: l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento stesso.

    Dimostrazione

    Indichiamo con A e B gli estremi del segmento e sia r il suo asse.

    Stando alla definizione di luogo geometrico dobbiamo dimostrare che:

    1) per ogni punto P dell'asse si ha PA = PB

    2) se P è un punto del piano tale che PA = PB, il punto P appartiene all'asse.

    Partiamo dalla dimostrazione del punto 1).

    Sia P un punto qualsiasi della retta r asse del segmento AB. Dobbiamo dimostrare che PA = PB. Per fissare le idee facciamo un disegno:

     

    Asse di un segmento come luogo geometrico

     

    Consideriamo i triangoli di vertici A, M, P e B, M, P, che sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, infatti:

    AM = MB, essendo M punto medio di AB

    AMP = BMP = 90°, in quanto r è perpendicolare ad AB

    il lato PM è in comune.

    Saranno allora congruenti anche i lati PA e PB, ossia

    PA = PB

    Ciò conclude la dimostrazione di 1) e possiamo passare al punto 2).

    Sia P un punto qualsiasi del piano tale che PA = PB.

    Il triangolo di vertici P, A, B è un triangolo isoscele di base AB, e in quanto tale mediana e altezza ad essa relative coincidono.

    Ne segue che la retta r passante per i punti P e M, essendo mediana e altezza, interseca il segmento AB nel suo punto medio ed è ad esso perpendicolare, ossia è asse del segmento AB e il punto P, ovviamente, vi appartiene.

    Equazione dell'asse di un segmento

    L'equazione dell'asse di un segmento non verticale, dunque di estremi A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) con x_A ≠ x_B, si può determinare con la seguente formula:

    y-y_M = -(1)/(m_(AB))(x-x_M)

    dove M(x_M, y_M) è il punto medio del segmento e m_(AB) è il coefficiente angolare della retta passante per i punti A e B.

    Nel caso di un segmento verticale x = k, dunque di estremi A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) con x_A = k = x_B, l'asse sarà orizzontale e sarà individuato dall'equazione

    y = y_M

    Esempio

    Determinare l'equazione dell'asse del segmento di estremi A(3,0) e B(7,4).

    Svolgimento: calcoliamo le coordinate cartesiane del punto medio di AB

     x_M = (x_A+x_B)/(2) = (3+7)/(2) = (10)/(2) = 5 ; y_M = (y_A+y_B)/(2) = (0+4)/(2) = (4)/(2) = 2

    e troviamo il coefficiente angolare della retta passante per i punti A(3,0) e B(7,4)

    m_(AB) = (y_B-y_A)/(x_B-x_A) = (4-0)/(7-3) = (4)/(4) = 1

    Sostituiamo i valori trovati nella formula dell'asse del segmento

     y-y_M = -(1)/(m_(AB))(x-x_M) ; y-2 = -(1)/(1)(x-5)

    Svolgendo i conti e portando tutto a primo membro si ricava l'equazione in forma implicita della retta r asse del segmento AB

     y-2 = -(x-5) ; y-2 = -x+5 ; x+y-2-5 = 0 ; r: x+y-7 = 0

    ***

    Per tutti gli approfondimenti del caso e per leggere altri esempi vi rimandiamo alla pagina: equazione dell'asse di un segmento - click!

    Risposta di Galois
 
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