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  • L'asse di un segmento è la retta passante per il punto medio del segmento e a esso perpendicolare. In modo equivalente possiamo definire l'asse di un segmento come la retta perpendicolare al segmento condotta dal suo punto medio.

    Consideriamo un segmento di estremi A e B e determiniamone il punto medio M, ossia il punto appartenente al segmento ed equidistante dai suoi estremi.

    La retta r che passa per il punto M e che forma un angolo retto con il segmento è l'asse di AB.

     

    Asse di un segmento

     

    Proprietà dell'asse di un segmento

    1) L'asse di un segmento è asse di simmetria per esso, quindi i due estremi si corrispondono in una simmetria assiale.

    2) Gli assi dei segmenti che definiscono i lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, che è uno dei punti notevoli del triangolo e coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.

    3) Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno al poligono che è il centro della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta.

    Asse di un segmento come luogo geometrico

    Enunciamo un importante teorema della Geometria Euclidea che esprime una proprietà degli assi dei segmenti: l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento stesso.

    Dimostrazione

    Indichiamo con A e B gli estremi del segmento e sia r il suo asse.

    Stando alla definizione di luogo geometrico dobbiamo dimostrare che:

    1) per ogni punto P dell'asse si ha \overline{PA}=\overline{PB}

    2) se P è un punto del piano tale che \overline{PA}=\overline{PB}, il punto P appartiene all'asse.

    Partiamo dalla dimostrazione del punto 1).

    Sia P un punto qualsiasi della retta r asse del segmento AB. Dobbiamo dimostrare che \overline{PA}=\overline{PB}. Per fissare le idee facciamo un disegno:

     

    Asse di un segmento come luogo geometrico

     

    Consideriamo i triangoli di vertici A, \ M, \ P e B, \ M, \ P, che sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, infatti:

    \overline{AM}=\overline{MB}, essendo M punto medio di AB

    \widehat{AMP} = \widehat{BMP} = 90^{\circ}, in quanto r è perpendicolare ad AB

    il lato PM è in comune.

    Saranno allora congruenti anche i lati PA e PB, ossia

    \overline{PA}=\overline{PB}

    Ciò conclude la dimostrazione di 1) e possiamo passare al punto 2).

    Sia P un punto qualsiasi del piano tale che \overline{PA}=\overline{PB}.

    Il triangolo di vertici P, \ A, \ B è un triangolo isoscele di base AB, e in quanto tale mediana e altezza ad essa relative coincidono.

    Ne segue che la retta r passante per i punti P e M, essendo mediana e altezza, interseca il segmento AB nel suo punto medio ed è ad esso perpendicolare, ossia è asse del segmento AB e il punto P, ovviamente, vi appartiene.

    Equazione dell'asse di un segmento

    L'equazione dell'asse di un segmento non verticale, dunque di estremi A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) con x_A\neq x_B, si può determinare con la seguente formula:

    y-y_M = -\frac{1}{m_{AB}}\left(x-x_M\right)

    dove M(x_M, y_M) è il punto medio del segmento e m_{AB} è il coefficiente angolare della retta passante per i punti A e B.

    Nel caso di un segmento verticale x=k, dunque di estremi A(x_A, y_A) e B(x_B, y_B) con x_A=k=x_B, l'asse sarà orizzontale e sarà individuato dall'equazione

    y=y_M

    Esempio

    Determinare l'equazione dell'asse del segmento di estremi A(3,0) e B(7,4).

    Svolgimento: calcoliamo le coordinate cartesiane del punto medio di AB

    \\ x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5 \\ \\ \\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0+4}{2}=\frac{4}{2}=2

    e troviamo il coefficiente angolare della retta passante per i punti A(3,0) e B(7,4)

    m_{AB}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{4-0}{7-3}=\frac{4}{4}=1

    Sostituiamo i valori trovati nella formula dell'asse del segmento

    \\ y-y_M = -\frac{1}{m_{AB}}\left(x-x_M\right) \\ \\ \\ y-2 = -\frac{1}{1}(x-5)

    Svolgendo i conti e portando tutto a primo membro si ricava l'equazione in forma implicita della retta r asse del segmento AB

    \\ y-2=-(x-5) \\ \\ y-2=-x+5 \\ \\ x+y-2-5=0 \\ \\ r: \ x+y-7=0

    ***

    Per tutti gli approfondimenti del caso e per leggere altri esempi vi rimandiamo alla pagina: equazione dell'asse di un segmento - click!

    Risposta di Galois
 
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