L'asse di un segmento AB è la retta r passante per il punto medio M del segmento e perpendicolare ad esso; in modo equivalente, l'asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento condotta per il suo punto medio.
Cos'è l'asse di un segmento
Consideriamo un segmento di estremi
e
e determiniamone il punto medio
, ossia il punto appartenente al segmento ed equidistante dai suoi estremi.
La retta
che passa per il punto
e che forma un angolo retto con il segmento è l'asse di
.
Proprietà dell'asse di un segmento
1) L'asse di un segmento è asse di simmetria per esso, quindi i due estremi si corrispondono in una simmetria assiale.
2) Gli assi dei segmenti che definiscono i lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto, detto circocentro, che è uno dei punti notevoli del triangolo e coincide con il centro della circonferenza circoscritta al triangolo.
3) Gli assi dei segmenti che individuano i lati di un poligono regolare si incontrano in un punto interno al poligono che è il centro della circonferenza inscritta e della circonferenza circoscritta.
Asse di un segmento come luogo geometrico
Enunciamo un importante teorema della Geometria Euclidea che esprime una proprietà degli assi dei segmenti: l'asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento stesso.
Indichiamo con
e
gli estremi del segmento e sia
il suo asse.
Stando alla definizione di luogo geometrico dobbiamo dimostrare che:
1) per ogni punto
dell'asse si ha
2) se
è un punto del piano tale che
, il punto
appartiene all'asse.
Partiamo dalla dimostrazione del punto 1).
Sia
un punto qualsiasi della retta
asse del segmento
. Dobbiamo dimostrare che
. Per fissare le idee facciamo un disegno:
Consideriamo i triangoli di vertici
e
, che sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, infatti:
, essendo
punto medio di
, in quanto
è perpendicolare ad
il lato
è in comune.
Saranno allora congruenti anche i lati
e
, ossia
Ciò conclude la dimostrazione di 1) e possiamo passare al punto 2).
Sia
un punto qualsiasi del piano tale che
.
Il triangolo di vertici
è un triangolo isoscele di base
, e in quanto tale mediana e altezza ad essa relative coincidono.
Ne segue che la retta
passante per i punti
e
, essendo mediana e altezza, interseca il segmento
nel suo punto medio ed è ad esso perpendicolare, ossia è asse del segmento
e il punto
, ovviamente, vi appartiene.
Equazione dell'asse di un segmento
L'equazione dell'asse di un segmento non verticale, dunque di estremi
e
con
, si può determinare con la seguente formula:
dove
è il punto medio del segmento e
è il coefficiente angolare della retta passante per i punti
e
.
Nel caso di un segmento verticale
, dunque di estremi
e
con
, l'asse sarà orizzontale e sarà individuato dall'equazione
Esempio
Determinare l'equazione dell'asse del segmento di estremi
e
.
Svolgimento: calcoliamo le coordinate cartesiane del punto medio di
e troviamo il coefficiente angolare della retta passante per i punti
e
Sostituiamo i valori trovati nella formula dell'asse del segmento
Svolgendo i conti e portando tutto a primo membro si ricava l'equazione in forma implicita della retta
asse del segmento
***
Per tutti gli approfondimenti del caso e per leggere altri esempi vi rimandiamo alla pagina: equazione dell'asse di un segmento - click!
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