Soluzioni
  • Consideriamo

    \cos^2(x)+\sin^2(2x)=1

    Essa è un'equazione goniometrica caratterizzata dalla presenza dei quadrati di seno e coseno, i quali però non hanno lo stesso argomento. Per ricondurci a qualcosa di notevole, utilizziamo prima di tutto la formula di duplicazione del seno

    \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    dalla quale, una volta elevati al quadrato i due membri ricaviamo

    \sin^2(2x)=4\sin^2(x)\cos^2(x) \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    Siamo quindi autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma

    \cos^2(x)+4\sin^2(x)\cos^2(x)=1

    Portiamo 1 al primo membro

    \cos^2(x)+4\sin^2(x)\cos^2(x)-1=0

    e utilizziamo la relazione fondamentale della goniometria

    \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \ \ \ \to \ \ \ \cos^2(x)=1-\sin^2(x)

    L'equazione diventa quindi

    -\sin^2(x)+4\sin^2(x)\cos^2(x)=0

    e possiamo risolverla raccogliendo il fattore comune \sin^2(x)

    \sin^2(x)[4\cos^2(x)-1]=0

    e invocando in seguito la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro vale zero se e solo se sussiste almeno una delle seguenti relazioni

    \sin^2(x)=0 \ \ \ \vee \ \ \ 4\cos^2(x)-1=0

    Occupiamoci della prima, ricordando che una potenza è pari a zero nel momento in cui è nulla la base:

    \sin^2(x)=0 \ \ \ \to \ \ \ \sin(x)=0

    da cui

    x=k\pi\ \ \ \mbox{con} \ k\in\mathbb{Z}

    Dedichiamoci alla seconda equazione

    4\cos^2(x)-1=0

    Isoliamo il coseno al primo membro prestando la massima attenzione ai segni

    \cos^2(x)=\frac{1}{4}

    Trattandola alla stregua di un'equazione pura, otteniamo due equazioni goniometriche elementari in coseno

    \\ \cos(x)=-\frac{1}{2} \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \ \  \vee  \ \ x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\\ \\ \\ \cos(x)=\frac{1}{2}\ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi

    al variare di k nell'insieme dei numeri interi.

    In definitiva possiamo concludere che l'equazione

    \cos^2(x)+\sin^2(2x)=1

    ammette come soluzioni

    x=k\pi \\ \\ \\ \ x=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \ \  \vee  \ \ x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi\\ \\ \\ x=\frac{\pi}{3}+2k\pi \ \ \vee \ \ x=\frac{5\pi}{3}+2k\pi

    dove k\in\mathbb{Z}.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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