Formule di duplicazione per risolvere un'equazione goniometrica

Question

Mi è capitato un esercizio in cui mi si chiede di calcolare le soluzioni di un'equazione goniometrica con seno e coseno al quadrato. In teoria dovrei usare le formule di duplicazione, ma poi? Non riesco a ricondurmi a nessuna forma notevole. Calcolare le soluzioni dell'equazione goniometrica cos^2(x)+sin^2(2x) = 1 Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Consideriamo cos^2(x)+sin^2(2x) = 1 Essa è un'equazione goniometrica caratterizzata dalla presenza dei quadrati di seno e coseno, i quali però non hanno lo stesso argomento. Per ricondurci a qualcosa di notevole, utilizziamo prima di tutto la formula di duplicazione del seno sin(2x) = 2sin(x)cos(x) per ogni x∈R dalla quale, una volta elevati al quadrato i due membri ricaviamo sin^2(2x) = 4sin^2(x)cos^2(x) per ogni x∈R Siamo quindi autorizzati a riscrivere l'equazione nella forma cos^2(x)+4sin^2(x)cos^2(x) = 1 Portiamo 1 al primo membro cos^2(x)+4sin^2(x)cos^2(x)−1 = 0 e utilizziamo la relazione fondamentale della goniometria sin^2(x)+cos^2(x) = 1 → cos^2(x) = 1−sin^2(x) L'equazione diventa quindi−sin^2(x)+4sin^2(x)cos^2(x) = 0 e possiamo risolverla raccogliendo il fattore comune sin^2(x) sin^2(x)[4cos^2(x)−1] = 0 e invocando in seguito la legge di annullamento del prodotto: essa garantisce che il prodotto al primo membro vale zero se e solo se sussiste almeno una delle seguenti relazioni sin^2(x) = 0 ∨ 4cos^2(x)−1 = 0 Occupiamoci della prima, ricordando che una potenza è pari a zero nel momento in cui è nulla la base: sin^2(x) = 0 → sin(x) = 0 da cui x = kπ con k∈Z Dedichiamoci alla seconda equazione 4cos^2(x)−1 = 0 Isoliamo il coseno al primo membro prestando la massima attenzione ai segni cos^2(x) = (1)/(4) Trattandola alla stregua di un'equazione pura, otteniamo due equazioni goniometriche elementari in coseno ; cos(x) = −(1)/(2) → x = (2π)/(3)+2kπ ∨ x = (4π)/(3)+2kπ ; cos(x) = (1)/(2) → x = (π)/(3)+2kπ ∨ x = (5π)/(3)+2kπ al variare di k nell'insieme dei numeri interi. In definitiva possiamo concludere che l'equazione cos^2(x)+sin^2(2x) = 1 ammette come soluzioni x = kπ ; x = (2π)/(3)+2kπ ∨ x = (4π)/(3)+2kπ ; x = (π)/(3)+2kπ ∨ x = (5π)/(3)+2kπ dove k∈Z. Abbiamo finito.