Soluzioni
  • Le frazioni decimali sono frazioni che, una volta ridotte ai minimi termini, hanno come denominatore 10 o una potenza di 10, ossia 100, 1000, 10 000 e così via.

    Ad esempio

    \frac{1}{10}, \ \ \frac{3}{10}, \ \ -\frac{17}{10}, \ \ \frac{9}{100}, \ \ \frac{13}{1000}

    sono tutte frazioni decimali, mentre

    \frac{1}{5}, \ \ \frac{4}{7}, \ \ \frac{12}{17}, \ \ \frac{3}{2}, \ \ -\frac{14}{23}

    non sono frazioni decimali.

    Come verificare se una frazione è decimale

    Riconoscere le frazioni decimali è molto semplice, ma se non si presta la giusta attenzione si potrebbe cadere in errore.

    Per evitare di sbagliare, per capire se una frazione è decimale dobbiamo:

    ridurre la frazione ai minimi termini;

    • osservare il denominatore:

    - se è 10 o una potenza di 10, allora la frazione è una frazione decimale;

    - in caso contrario, la frazione non rientra tra le frazioni decimali e viene detta frazione ordinaria.

    Esempi

    1) \frac{7}{10} è una frazione decimale?

    Per rispondere osserviamo che 7 e 10 sono numeri primi tra loro, quindi la frazione è già ridotta ai minimi termini. Dal momento che il denominatore è 10, la frazione è decimale.

    2) \frac{3}{4} è una frazione decimale?

    Ovviamente no, infatti la frazione è ridotta ai minimi termini e il denominatore non è né 10 né una sua potenza; siamo quindi di fronte ad una frazione ordinaria.

    3) \frac{4}{10} è una frazione decimale?

    La risposta è no: sia 4 che 10 sono numeri divisibili per 2, quindi riducendo la frazione ai minimi termini (dividendo numeratore e denominatore per 2) si ottiene

    \frac{4}{10}=\frac{2}{5}

    che non è una frazione decimale.

    4) \frac{51}{30} è una frazione decimale?

    Sia 51 che 30 sono numeri divisibili per 3, quindi riduciamo la frazione ai minimi termini dividendo numeratore e denominatore per 3. Otteniamo così la frazione

    \frac{51}{30}=\frac{17}{10}

    che è una frazione decimale. Di conseguenza \frac{51}{30} è una frazione decimale.

    Frazioni decimali e numeri decimali

    Analizziamo ora il legame tra frazioni decimali e numeri decimali. Vediamo che tipo di numero viene generato una frazione decimale, e viceversa quali tipi di numeri decimali sono in grado di generare una frazione decimale.

    Dalla frazioni decimali ai numeri decimali

    Una frazione decimale genera un numero decimale limitato, ossia un numero decimale avente un numero finito di cifre.

    In generale per passare dalla frazione al numero decimale si deve svolgere la divisione tra numeratore e denominatore. Tuttavia, ancor prima di svolgere la divisione, è possibile stabilire che tipo di numero decimale viene generato dalla frazione considerata.

    Come spiegato nel dettaglio nella lezione sulla frazione generatrice, dopo aver ridotto la frazione ai minimi termini si scompone in fattori primi il denominatore:

    - se tra i fattori primi del denominatore compaiono solo il 2 e il 5, allora la frazione genera un numero decimale limitato;

    - in caso contrario verrà generato un numero decimale periodico semplice (se non compaiono né il 2 né il 5) oppure un numero decimale periodico misto (se compaiono il 2 oppure il 5, insieme ad altri fattori).

    Una frazione decimale ha come denominatore 10 o una potenza di 10, dunque gli unici fattori primi presenti nella scomposizione di 10 o delle potenze di 10 sono 2 e 5. Infatti:

    \\ 10 = 2 \times 5 \\ \\ 100 = 2^2 \times 5^2 \\ \\ 1000 = 2^3 \times 5^3 \\ \\ 10000= 2^4 \times 5^4

    .. e così via.

    In accordo con quanto detto poc'anzi possiamo concludere che una frazione decimale genera sempre un numero decimale limitato.

    Dai numeri decimali alle frazioni decimali

    Un numero decimale genera una frazione decimale se soddisfa le seguenti condizioni:

    - è un numero decimale limitato;

    - il numero scritto senza la virgola non è divisibile né per 2 né per 5.

    Ad esempio 1,3 genera una frazione decimale, infatti siamo di fronte a un numero decimale limitato e il numero scritto senza la virgola (13) non è divisibile né per 2 né per 5.

    Di contro 2,5 non genera una frazione decimale, in quanto il numero scritto senza la virgola (25) è divisibile per 5.

    ***

    Con questo è tutto! Nel salutarvi vi consigliamo la lettura della nostra lezione sulle frazioni - click!

    Risposta di Galois
 
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